График функции y = (atan(x))^2

Вы ввели

           2   
f(x) = atan (x)

$$f{\left (x \right )} = \operatorname{atan}^{2}{\left (x \right )}$$

Точки пересечения с осью координат X

График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
$$\operatorname{atan}^{2}{\left (x \right )} = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:

Аналитическое решение
$$x_{1} = 0$$
Численное решение
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = 5.50702149101 \cdot 10^{-7}$$

Точки пересечения с осью координат Y

График пересекает ось Y, когда x равняется 0:
подставляем x = 0 в atan(x)^2.
$$\operatorname{atan}^{2}{\left (0 \right )}$$
Результат:
$$f{\left (0 \right )} = 0$$
Точка:

(0, 0)

Экстремумы функции

Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} =$$
Первая производная
$$\frac{2 \operatorname{atan}{\left (x \right )}}{x^{2} + 1} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = 0$$
Зн. экстремумы в точках:

(0, 0)

Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумы функции в точках:
$$x_{1} = 0$$
Максимумов у функции нет
Убывает на промежутках

[0, oo)

Возрастает на промежутках

(-oo, 0]

Точки перегибов

Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} =$$
Вторая производная
$$\frac{1}{\left(x^{2} + 1\right)^{2}} \left(- 4 x \operatorname{atan}{\left (x \right )} + 2\right) = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = 0.765378926666$$
$$x_{2} = -0.765378926666$$

Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Вогнутая на промежутках

[-0.765378926666, 0.765378926666]

Выпуклая на промежутках

(-oo, -0.765378926666] U [0.765378926666, oo)

Горизонтальные асимптоты

Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty} \operatorname{atan}^{2}{\left (x \right )} = \frac{\pi^{2}}{4}$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты слева:
$$y = \frac{\pi^{2}}{4}$$
$$\lim_{x \to \infty} \operatorname{atan}^{2}{\left (x \right )} = \frac{\pi^{2}}{4}$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты справа:
$$y = \frac{\pi^{2}}{4}$$

Наклонные асимптоты

Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции atan(x)^2, делённой на x при x->+oo и x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{1}{x} \operatorname{atan}^{2}{\left (x \right )}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой справа
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{1}{x} \operatorname{atan}^{2}{\left (x \right )}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой слева

Чётность и нечётность функции

Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
$$\operatorname{atan}^{2}{\left (x \right )} = \operatorname{atan}^{2}{\left (x \right )}$$
- Да
$$\operatorname{atan}^{2}{\left (x \right )} = - \operatorname{atan}^{2}{\left (x \right )}$$
- Нет
значит, функция
является
чётной