График функции y = 4-(y-1)^2

Вы ввели

                  2
f(y) = 4 - (y - 1) 

$$f{\left(y \right)} = 4 - \left(y - 1\right)^{2}$$

Точки пересечения с осью координат X

График функции пересекает ось Y при f = 0
значит надо решить уравнение:
$$4 - \left(y - 1\right)^{2} = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью Y:

Аналитическое решение
$$y_{1} = -1$$
$$y_{2} = 3$$
Численное решение
$$y_{1} = 3$$
$$y_{2} = -1$$

Точки пересечения с осью координат Y

График пересекает ось Y, когда y равняется 0:
подставляем y = 0 в 4 - (y - 1*1)^2.
$$4 - \left(\left(-1\right) 1 + 0\right)^{2}$$
Результат:
$$f{\left(0 \right)} = 3$$
Точка:

(0, 3)

Экстремумы функции

Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$\frac{d}{d y} f{\left(y \right)} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d y} f{\left(y \right)} = $$
первая производная
$$2 - 2 y = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$y_{1} = 1$$
Зн. экстремумы в точках:

               2 
(1, 4 - (1 - 1) )

Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумов у функции нет
Максимумы функции в точках:
$$y_{1} = 1$$
Убывает на промежутках
$$\left(-\infty, 1\right]$$
Возрастает на промежутках
$$\left[1, \infty\right)$$

Точки перегибов

Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
$$\frac{d^{2}}{d y^{2}} f{\left(y \right)} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d y^{2}} f{\left(y \right)} = $$
вторая производная
$$-2 = 0$$
Решаем это уравнение
Решения не найдены,
возможно перегибов у функции нет

Горизонтальные асимптоты

Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при y->+oo и y->-oo
$$\lim_{y \to -\infty}\left(4 - \left(y - 1\right)^{2}\right) = -\infty$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты слева не существует
$$\lim_{y \to \infty}\left(4 - \left(y - 1\right)^{2}\right) = -\infty$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты справа не существует

Наклонные асимптоты

Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции 4 - (y - 1*1)^2, делённой на y при y->+oo и y ->-oo
$$\lim_{y \to -\infty}\left(\frac{4 - \left(y - 1\right)^{2}}{y}\right) = \infty$$
Возьмём предел
значит,
наклонной асимптоты слева не существует
$$\lim_{y \to \infty}\left(\frac{4 - \left(y - 1\right)^{2}}{y}\right) = -\infty$$
Возьмём предел
значит,
наклонной асимптоты справа не существует

Чётность и нечётность функции

Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-y) и f = -f(-y).
Итак, проверяем:
$$4 - \left(y - 1\right)^{2} = 4 - \left(- y - 1\right)^{2}$$
- Нет
$$4 - \left(y - 1\right)^{2} = \left(- y - 1\right)^{2} - 4$$
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной

График