График функции y = 4*cos(x)-3

Вы ввели

f(x) = 4*cos(x) - 3

$$f{\left(x \right)} = 4 \cos{\left(x \right)} - 3$$

Точки пересечения с осью координат X

График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
$$4 \cos{\left(x \right)} - 3 = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:

Аналитическое решение
$$x_{1} = - \operatorname{acos}{\left(\frac{3}{4} \right)} + 2 \pi$$
$$x_{2} = \operatorname{acos}{\left(\frac{3}{4} \right)}$$
Численное решение
$$x_{1} = -74.6754894383416$$
$$x_{2} = -32.1386607837113$$
$$x_{3} = -57.2714020124297$$
$$x_{4} = 0.722734247813416$$
$$x_{5} = 99.80823066706$$
$$x_{6} = 69.8377726267889$$
$$x_{7} = 38.4218460908909$$
$$x_{8} = -63.5545873196093$$
$$x_{9} = -5.56045105936617$$
$$x_{10} = -50.9882167052501$$
$$x_{11} = -49.5427482096233$$
$$x_{12} = 62.1091188239824$$
$$x_{13} = -101.253699162687$$
$$x_{14} = 76.1209579339685$$
$$x_{15} = -62.1091188239824$$
$$x_{16} = 5.56045105936617$$
$$x_{17} = -19.5722901693522$$
$$x_{18} = 80.9586747455212$$
$$x_{19} = -13.2891048621726$$
$$x_{20} = 74.6754894383416$$
$$x_{21} = -68.392304131162$$
$$x_{22} = 19.5722901693522$$
$$x_{23} = 63.5545873196093$$
$$x_{24} = 420.250681333219$$
$$x_{25} = -7.005919554993$$
$$x_{26} = -11.8436363665458$$
$$x_{27} = 43.2595629024437$$
$$x_{28} = 57.2714020124297$$
$$x_{29} = -94.9705138555072$$
$$x_{30} = -36.9763775952641$$
$$x_{31} = 44.7050313980705$$
$$x_{32} = 157.802366927303$$
$$x_{33} = 88.6873285483276$$
$$x_{34} = 82.404143241148$$
$$x_{35} = 55.8259335168029$$
$$x_{36} = 18.1268216737253$$
$$x_{37} = 68.392304131162$$
$$x_{38} = 93.5250453598804$$
$$x_{39} = -93.5250453598804$$
$$x_{40} = 49.5427482096233$$
$$x_{41} = -0.722734247813416$$
$$x_{42} = -25.8554754765318$$
$$x_{43} = -76.1209579339685$$
$$x_{44} = 25.8554754765318$$
$$x_{45} = 36.9763775952641$$
$$x_{46} = -82.404143241148$$
$$x_{47} = -24.4100069809049$$
$$x_{48} = -80.9586747455212$$
$$x_{49} = 13.2891048621726$$
$$x_{50} = -38.4218460908909$$
$$x_{51} = 11.8436363665458$$
$$x_{52} = -30.6931922880845$$
$$x_{53} = 87.2418600527008$$
$$x_{54} = -43.2595629024437$$
$$x_{55} = 30.6931922880845$$
$$x_{56} = -18.1268216737253$$
$$x_{57} = -55.8259335168029$$
$$x_{58} = -99.80823066706$$
$$x_{59} = 32.1386607837113$$
$$x_{60} = 50.9882167052501$$
$$x_{61} = 94.9705138555072$$
$$x_{62} = 16770.5443191101$$
$$x_{63} = -44.7050313980705$$
$$x_{64} = 7.005919554993$$
$$x_{65} = 24.4100069809049$$
$$x_{66} = -87.2418600527008$$
$$x_{67} = -69.8377726267889$$
$$x_{68} = -88.6873285483276$$

Точки пересечения с осью координат Y

График пересекает ось Y, когда x равняется 0:
подставляем x = 0 в 4*cos(x) - 1*3.
$$\left(-1\right) 3 + 4 \cos{\left(0 \right)}$$
Результат:
$$f{\left(0 \right)} = 1$$
Точка:

(0, 1)

Экстремумы функции

Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =$$
первая производная
$$- 4 \sin{\left(x \right)} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = \pi$$
Зн. экстремумы в точках:

(0, 4 - 3)

(pi, -4 - 3)

Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумы функции в точках:
$$x_{1} = \pi$$
Максимумы функции в точках:
$$x_{1} = 0$$
Убывает на промежутках
$$\left(-\infty, 0\right] \cup \left[\pi, \infty\right)$$
Возрастает на промежутках
$$\left[0, \pi\right]$$

Точки перегибов

Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =$$
вторая производная
$$- 4 \cos{\left(x \right)} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = \frac{\pi}{2}$$
$$x_{2} = \frac{3 \pi}{2}$$

Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Вогнутая на промежутках
$$\left[\frac{\pi}{2}, \frac{3 \pi}{2}\right]$$
Выпуклая на промежутках
$$\left(-\infty, \frac{\pi}{2}\right] \cup \left[\frac{3 \pi}{2}, \infty\right)$$

Горизонтальные асимптоты

Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(4 \cos{\left(x \right)} - 3\right) = \left\langle -7, 1\right\rangle$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты слева:
$$y = \left\langle -7, 1\right\rangle$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(4 \cos{\left(x \right)} - 3\right) = \left\langle -7, 1\right\rangle$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты справа:
$$y = \left\langle -7, 1\right\rangle$$

Наклонные асимптоты

Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции 4*cos(x) - 1*3, делённой на x при x->+oo и x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{4 \cos{\left(x \right)} - 3}{x}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой справа
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{4 \cos{\left(x \right)} - 3}{x}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой слева

Чётность и нечётность функции

Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
$$4 \cos{\left(x \right)} - 3 = 4 \cos{\left(x \right)} - 3$$
- Да
$$4 \cos{\left(x \right)} - 3 = 3 - 4 \cos{\left(x \right)}$$
- Нет
значит, функция
является
чётной

График