График функции y = 4*(1-cos(x))

Вы ввели

f(x) = 4*(1 - cos(x))

$$f{\left (x \right )} = 4 \left(- \cos{\left (x \right )} + 1\right)$$

Точки пересечения с осью координат X

График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
$$4 \left(- \cos{\left (x \right )} + 1\right) = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:

Аналитическое решение
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = 2 \pi$$
Численное решение
$$x_{1} = 12.5663704427$$
$$x_{2} = 43.9822966661$$
$$x_{3} = -69.1150386869$$
$$x_{4} = 56.5486682809$$
$$x_{5} = -43.9822971745$$
$$x_{6} = -62.8318526732$$
$$x_{7} = 37.6991115174$$
$$x_{8} = 50.2654821323$$
$$x_{9} = 62.8318535568$$
$$x_{10} = 75.3982240032$$
$$x_{11} = 87.9645946044$$
$$x_{12} = -6.28318512755$$
$$x_{13} = -100.530964626$$
$$x_{14} = -6.28318581605$$
$$x_{15} = 3.40772025643 \cdot 10^{-7}$$
$$x_{16} = 75.3982232189$$
$$x_{17} = -75.3982231046$$
$$x_{18} = 50.265482944$$
$$x_{19} = 87.9645938122$$
$$x_{20} = -37.699111348$$
$$x_{21} = -25.1327407506$$
$$x_{22} = -31.4159260208$$
$$x_{23} = 50.2654824463$$
$$x_{24} = -94.2477794453$$
$$x_{25} = 81.6814085861$$
$$x_{26} = -31.4159267158$$
$$x_{27} = 37.6991120311$$
$$x_{28} = -6.2831855585$$
$$x_{29} = -18.8495552124$$
$$x_{30} = -94.2477797298$$
$$x_{31} = 25.1327408328$$
$$x_{32} = 6.28318528421$$
$$x_{33} = 6.28318579822$$
$$x_{34} = 87.9645943359$$
$$x_{35} = -87.9645939285$$
$$x_{36} = -75.398223172$$
$$x_{37} = 43.9822974734$$
$$x_{38} = 81.6814091897$$
$$x_{39} = 100.530965157$$
$$x_{40} = -25.1327415297$$
$$x_{41} = -75.3982238742$$
$$x_{42} = -31.4159260508$$
$$x_{43} = 62.8318527849$$
$$x_{44} = -50.2654826411$$
$$x_{45} = 69.1150387941$$
$$x_{46} = -43.9822967932$$
$$x_{47} = 31.415926846$$
$$x_{48} = -50.2654822863$$
$$x_{49} = -62.8318534787$$
$$x_{50} = -18.8495555173$$
$$x_{51} = 37.6991113349$$
$$x_{52} = -94.2477801172$$
$$x_{53} = -81.6814084946$$
$$x_{54} = 43.9822971695$$
$$x_{55} = -87.9645943586$$
$$x_{56} = -87.9645947692$$
$$x_{57} = -18.849556323$$
$$x_{58} = -50.2654829667$$
$$x_{59} = 94.2477796094$$
$$x_{60} = 31.4159260649$$
$$x_{61} = 94.2477800893$$
$$x_{62} = -37.6991121287$$
$$x_{63} = 56.5486676012$$
$$x_{64} = -43.9822976246$$
$$x_{65} = 25.1327416384$$
$$x_{66} = 6.28318500094$$
$$x_{67} = 69.1150379888$$
$$x_{68} = 56.5486680806$$
$$x_{69} = -56.5486682427$$
$$x_{70} = 12.5663710111$$
$$x_{71} = -12.566371089$$
$$x_{72} = -37.6991118773$$
$$x_{73} = -4.79511606159 \cdot 10^{-7}$$
$$x_{74} = -69.1150379045$$
$$x_{75} = -12.5663703113$$
$$x_{76} = -81.6814090382$$
$$x_{77} = 18.8495564032$$
$$x_{78} = 18.8495556276$$
$$x_{79} = 81.681408486$$
$$x_{80} = 12.5663711302$$
$$x_{81} = 94.2477792651$$
$$x_{82} = -56.5486674686$$
$$x_{83} = 0$$
$$x_{84} = 100.53096476$$
$$x_{85} = -81.6814092565$$

Точки пересечения с осью координат Y

График пересекает ось Y, когда x равняется 0:
подставляем x = 0 в 4*(1 - cos(x)).
$$4 \left(- \cos{\left (0 \right )} + 1\right)$$
Результат:
$$f{\left (0 \right )} = 0$$
Точка:

(0, 0)

Экстремумы функции

Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = $$
Первая производная
$$4 \sin{\left (x \right )} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = \pi$$
Зн. экстремумы в точках:

(0, 0)

(pi, 8)

Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумы функции в точках:
$$x_{2} = 0$$
Максимумы функции в точках:
$$x_{2} = \pi$$
Убывает на промежутках

[0, pi]

Возрастает на промежутках

(-oo, 0] U [pi, oo)

Точки перегибов

Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = $$
Вторая производная
$$4 \cos{\left (x \right )} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = \frac{\pi}{2}$$
$$x_{2} = \frac{3 \pi}{2}$$

Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Вогнутая на промежутках

(-oo, pi/2] U [3*pi/2, oo)

Выпуклая на промежутках

[pi/2, 3*pi/2]

Горизонтальные асимптоты

Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(4 \left(- \cos{\left (x \right )} + 1\right)\right) = \langle 0, 8\rangle$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты слева:
$$y = \langle 0, 8\rangle$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(4 \left(- \cos{\left (x \right )} + 1\right)\right) = \langle 0, 8\rangle$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты справа:
$$y = \langle 0, 8\rangle$$

Наклонные асимптоты

Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции 4*(1 - cos(x)), делённой на x при x->+oo и x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{1}{x} \left(- 4 \cos{\left (x \right )} + 4\right)\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой справа
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{1}{x} \left(- 4 \cos{\left (x \right )} + 4\right)\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой слева

Чётность и нечётность функции

Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
$$4 \left(- \cos{\left (x \right )} + 1\right) = 4 \left(- \cos{\left (x \right )} + 1\right)$$
- Да
$$4 \left(- \cos{\left (x \right )} + 1\right) = - - 4 \cos{\left (x \right )} + 4$$
- Нет
значит, функция
является
чётной