График функции y = 4*sin(f)

Вы ввели

f(f) = 4*sin(f)

$$f{\left (f \right )} = 4 \sin{\left (f \right )}$$

Точки пересечения с осью координат X

График функции пересекает ось F при f = 0
значит надо решить уравнение:
$$4 \sin{\left (f \right )} = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью F:

Аналитическое решение
$$f_{1} = 0$$
$$f_{2} = \pi$$
Численное решение
$$f_{1} = -94.2477796077$$
$$f_{2} = 31.4159265359$$
$$f_{3} = 81.6814089933$$
$$f_{4} = 84.8230016469$$
$$f_{5} = -53.407075111$$
$$f_{6} = 65.9734457254$$
$$f_{7} = 3.14159265359$$
$$f_{8} = 15.7079632679$$
$$f_{9} = 100.530964915$$
$$f_{10} = 50.2654824574$$
$$f_{11} = -3.14159265359$$
$$f_{12} = 40.8407044967$$
$$f_{13} = -59.6902604182$$
$$f_{14} = 97.3893722613$$
$$f_{15} = 78.5398163397$$
$$f_{16} = -25.1327412287$$
$$f_{17} = -43.9822971503$$
$$f_{18} = 25.1327412287$$
$$f_{19} = -81.6814089933$$
$$f_{20} = -91.1061869541$$
$$f_{21} = 87.9645943005$$
$$f_{22} = 69.115038379$$
$$f_{23} = -34.5575191895$$
$$f_{24} = 28.2743338823$$
$$f_{25} = -31.4159265359$$
$$f_{26} = 37.6991118431$$
$$f_{27} = -28.2743338823$$
$$f_{28} = 72.2566310326$$
$$f_{29} = 56.5486677646$$
$$f_{30} = -75.3982236862$$
$$f_{31} = -69.115038379$$
$$f_{32} = -6.28318530718$$
$$f_{33} = -9.42477796077$$
$$f_{34} = 6.28318530718$$
$$f_{35} = 75.3982236862$$
$$f_{36} = -65.9734457254$$
$$f_{37} = -87.9645943005$$
$$f_{38} = -72.2566310326$$
$$f_{39} = 18.8495559215$$
$$f_{40} = -267.035375555$$
$$f_{41} = -84.8230016469$$
$$f_{42} = 9.42477796077$$
$$f_{43} = -50.2654824574$$
$$f_{44} = -56.5486677646$$
$$f_{45} = -232.477856366$$
$$f_{46} = -2642.07942167$$
$$f_{47} = 91.1061869541$$
$$f_{48} = 59.6902604182$$
$$f_{49} = -47.1238898038$$
$$f_{50} = 12.5663706144$$
$$f_{51} = -62.8318530718$$
$$f_{52} = 62.8318530718$$
$$f_{53} = -18.8495559215$$
$$f_{54} = -12.5663706144$$
$$f_{55} = -37.6991118431$$
$$f_{56} = -97.3893722613$$
$$f_{57} = 94.2477796077$$
$$f_{58} = 34.5575191895$$
$$f_{59} = -21.9911485751$$
$$f_{60} = 21.9911485751$$
$$f_{61} = -100.530964915$$
$$f_{62} = 53.407075111$$
$$f_{63} = -113.097335529$$
$$f_{64} = -78.5398163397$$
$$f_{65} = 0$$
$$f_{66} = 43.9822971503$$
$$f_{67} = -40.8407044967$$
$$f_{68} = -15.7079632679$$
$$f_{69} = 47.1238898038$$

Точки пересечения с осью координат Y

График пересекает ось Y, когда f равняется 0:
подставляем f = 0 в 4*sin(f).
$$4 \sin{\left (0 \right )}$$
Результат:
$$f{\left (0 \right )} = 0$$
Точка:

(0, 0)

Экстремумы функции

Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$\frac{d}{d f} f{\left (f \right )} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d f} f{\left (f \right )} = $$
Первая производная
$$4 \cos{\left (f \right )} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$f_{1} = \frac{\pi}{2}$$
$$f_{2} = \frac{3 \pi}{2}$$
Зн. экстремумы в точках:

 pi    
(--, 4)
 2     

 3*pi     
(----, -4)
  2       

Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумы функции в точках:
$$f_{2} = \frac{3 \pi}{2}$$
Максимумы функции в точках:
$$f_{2} = \frac{\pi}{2}$$
Убывает на промежутках

(-oo, pi/2] U [3*pi/2, oo)

Возрастает на промежутках

[pi/2, 3*pi/2]

Точки перегибов

Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
$$\frac{d^{2}}{d f^{2}} f{\left (f \right )} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d f^{2}} f{\left (f \right )} = $$
Вторая производная
$$- 4 \sin{\left (f \right )} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$f_{1} = 0$$
$$f_{2} = \pi$$

Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Вогнутая на промежутках

(-oo, 0] U [pi, oo)

Выпуклая на промежутках

[0, pi]

Горизонтальные асимптоты

Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при f->+oo и f->-oo
$$\lim_{f \to -\infty}\left(4 \sin{\left (f \right )}\right) = \langle -4, 4\rangle$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты слева:
$$y = \langle -4, 4\rangle$$
$$\lim_{f \to \infty}\left(4 \sin{\left (f \right )}\right) = \langle -4, 4\rangle$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты справа:
$$y = \langle -4, 4\rangle$$

Наклонные асимптоты

Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции 4*sin(f), делённой на f при f->+oo и f ->-oo
$$\lim_{f \to -\infty}\left(\frac{4}{f} \sin{\left (f \right )}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой справа
$$\lim_{f \to \infty}\left(\frac{4}{f} \sin{\left (f \right )}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой слева

Чётность и нечётность функции

Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-f) и f = -f(-f).
Итак, проверяем:
$$4 \sin{\left (f \right )} = - 4 \sin{\left (f \right )}$$
- Нет
$$4 \sin{\left (f \right )} = - -1 \cdot 4 \sin{\left (f \right )}$$
- Да
значит, функция
является
нечётной