График функции y = 4*sin(3*x)

Вы ввели

f(x) = 4*sin(3*x)

$$f{\left (x \right )} = 4 \sin{\left (3 x \right )}$$

Точки пересечения с осью координат X

График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
$$4 \sin{\left (3 x \right )} = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:

Аналитическое решение
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = \frac{\pi}{3}$$
Численное решение
$$x_{1} = 87.9645943005$$
$$x_{2} = 48.171087355$$
$$x_{3} = 52.3598775598$$
$$x_{4} = 78.5398163397$$
$$x_{5} = 92.1533845053$$
$$x_{6} = 63.879050623$$
$$x_{7} = 56.5486677646$$
$$x_{8} = 26.1799387799$$
$$x_{9} = -2.09439510239$$
$$x_{10} = -17.8023583703$$
$$x_{11} = -33.5103216383$$
$$x_{12} = 39.7935069455$$
$$x_{13} = 32.4631240871$$
$$x_{14} = 68.0678408278$$
$$x_{15} = -92.1533845053$$
$$x_{16} = -19.8967534727$$
$$x_{17} = -90.0589894029$$
$$x_{18} = 17.8023583703$$
$$x_{19} = -4.18879020479$$
$$x_{20} = -55.5014702134$$
$$x_{21} = 30.3687289847$$
$$x_{22} = 41.8879020479$$
$$x_{23} = 83.7758040957$$
$$x_{24} = -13.6135681656$$
$$x_{25} = 61.7846555206$$
$$x_{26} = -61.7846555206$$
$$x_{27} = -77.4926187885$$
$$x_{28} = 8.37758040957$$
$$x_{29} = 54.4542726622$$
$$x_{30} = -46.0766922527$$
$$x_{31} = 43.9822971503$$
$$x_{32} = 59.6902604182$$
$$x_{33} = -21.9911485751$$
$$x_{34} = -37.6991118431$$
$$x_{35} = 21.9911485751$$
$$x_{36} = 70.1622359302$$
$$x_{37} = 19.8967534727$$
$$x_{38} = 0$$
$$x_{39} = -94.2477796077$$
$$x_{40} = 90.0589894029$$
$$x_{41} = -10.471975512$$
$$x_{42} = -68.0678408278$$
$$x_{43} = 15.7079632679$$
$$x_{44} = -57.5958653158$$
$$x_{45} = 50.2654824574$$
$$x_{46} = -63.879050623$$
$$x_{47} = -59.6902604182$$
$$x_{48} = 28.2743338823$$
$$x_{49} = -43.9822971503$$
$$x_{50} = -41.8879020479$$
$$x_{51} = -81.6814089933$$
$$x_{52} = 72.2566310326$$
$$x_{53} = -6.28318530718$$
$$x_{54} = 109.955742876$$
$$x_{55} = 46.0766922527$$
$$x_{56} = -65.9734457254$$
$$x_{57} = -72.2566310326$$
$$x_{58} = 569.675467851$$
$$x_{59} = -11.5191730632$$
$$x_{60} = 65.9734457254$$
$$x_{61} = 85.8701991981$$
$$x_{62} = 96.3421747101$$
$$x_{63} = -98.4365698125$$
$$x_{64} = -24.0855436775$$
$$x_{65} = 94.2477796077$$
$$x_{66} = -15.7079632679$$
$$x_{67} = 10.471975512$$
$$x_{68} = -70.1622359302$$
$$x_{69} = 81.6814089933$$
$$x_{70} = 98.4365698125$$
$$x_{71} = -8.37758040957$$
$$x_{72} = 100.530964915$$
$$x_{73} = 74.351026135$$
$$x_{74} = -29.3215314335$$
$$x_{75} = -79.5870138909$$
$$x_{76} = -54.4542726622$$
$$x_{77} = -83.7758040957$$
$$x_{78} = -39.7935069455$$
$$x_{79} = -31.4159265359$$
$$x_{80} = 2.09439510239$$
$$x_{81} = -85.8701991981$$
$$x_{82} = 4.18879020479$$
$$x_{83} = 6.28318530718$$
$$x_{84} = -87.9645943005$$
$$x_{85} = 76.4454212374$$
$$x_{86} = -99.4837673637$$
$$x_{87} = -50.2654824574$$
$$x_{88} = 746.651854003$$
$$x_{89} = -48.171087355$$
$$x_{90} = -26.1799387799$$
$$x_{91} = -35.6047167407$$
$$x_{92} = 24.0855436775$$
$$x_{93} = 80.6342114421$$
$$x_{94} = 34.5575191895$$
$$x_{95} = 37.6991118431$$
$$x_{96} = -28.2743338823$$

Точки пересечения с осью координат Y

График пересекает ось Y, когда x равняется 0:
подставляем x = 0 в 4*sin(3*x).
$$4 \sin{\left (0 \cdot 3 \right )}$$
Результат:
$$f{\left (0 \right )} = 0$$
Точка:

(0, 0)

Экстремумы функции

Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} =$$
Первая производная
$$12 \cos{\left (3 x \right )} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = \frac{\pi}{6}$$
$$x_{2} = \frac{\pi}{2}$$
Зн. экстремумы в точках:

 pi    
(--, 4)
 6     

 pi     
(--, -4)
 2      

Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумы функции в точках:
$$x_{2} = \frac{\pi}{2}$$
Максимумы функции в точках:
$$x_{2} = \frac{\pi}{6}$$
Убывает на промежутках

(-oo, pi/6] U [pi/2, oo)

Возрастает на промежутках

[pi/6, pi/2]

Точки перегибов

Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} =$$
Вторая производная
$$- 36 \sin{\left (3 x \right )} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = \frac{\pi}{3}$$

Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Вогнутая на промежутках

(-oo, 0] U [pi/3, oo)

Выпуклая на промежутках

[0, pi/3]

Горизонтальные асимптоты

Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(4 \sin{\left (3 x \right )}\right) = \langle -4, 4\rangle$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты слева:
$$y = \langle -4, 4\rangle$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(4 \sin{\left (3 x \right )}\right) = \langle -4, 4\rangle$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты справа:
$$y = \langle -4, 4\rangle$$

Наклонные асимптоты

Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции 4*sin(3*x), делённой на x при x->+oo и x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{4}{x} \sin{\left (3 x \right )}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой справа
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{4}{x} \sin{\left (3 x \right )}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой слева

Чётность и нечётность функции

Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
$$4 \sin{\left (3 x \right )} = - 4 \sin{\left (3 x \right )}$$
- Нет
$$4 \sin{\left (3 x \right )} = - -1 \cdot 4 \sin{\left (3 x \right )}$$
- Да
значит, функция
является
нечётной