График функции y = 4*sin(x)^(2)

Вы ввели

            2   
f(x) = 4*sin (x)

$$f{\left(x \right)} = 4 \sin^{2}{\left(x \right)}$$

Точки пересечения с осью координат X

График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
$$4 \sin^{2}{\left(x \right)} = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:

Аналитическое решение
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = \pi$$
Численное решение
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = -84.82300141007$$
$$x_{3} = -34.5575189426108$$
$$x_{4} = -12.5663703661411$$
$$x_{5} = -75.3982238620294$$
$$x_{6} = 94.2477796093525$$
$$x_{7} = 75.3982239388525$$
$$x_{8} = -31.4159267051849$$
$$x_{9} = -62.8318528379059$$
$$x_{10} = -91.106187201329$$
$$x_{11} = -78.5398160958028$$
$$x_{12} = 53.4070756765307$$
$$x_{13} = 97.3893727097471$$
$$x_{14} = -106.814150357553$$
$$x_{15} = 3.14159244884412$$
$$x_{16} = -94.2477794529919$$
$$x_{17} = -47.123890151099$$
$$x_{18} = -18.8495556944209$$
$$x_{19} = 69.1150385885879$$
$$x_{20} = -40.8407046898283$$
$$x_{21} = 18.8495556796107$$
$$x_{22} = -100.530964672522$$
$$x_{23} = 100.530964766599$$
$$x_{24} = 31.4159267865366$$
$$x_{25} = 15.7079634406648$$
$$x_{26} = -1734.15914475848$$
$$x_{27} = -47.1238900492539$$
$$x_{28} = 25.1327414478072$$
$$x_{29} = 12.5663704518704$$
$$x_{30} = -18.8495561207399$$
$$x_{31} = -84.8230018263493$$
$$x_{32} = -62.8318532583801$$
$$x_{33} = -37.6991118771514$$
$$x_{34} = -31.4159267959754$$
$$x_{35} = 78.5398161878405$$
$$x_{36} = -81.6814090380061$$
$$x_{37} = -69.1150386253436$$
$$x_{38} = -91.1061872003049$$
$$x_{39} = 21.9911485851964$$
$$x_{40} = -87.9645943587732$$
$$x_{41} = 65.9734457528975$$
$$x_{42} = 53.4070753627408$$
$$x_{43} = -56.5486675191652$$
$$x_{44} = 6.28318528425126$$
$$x_{45} = -97.3893724403711$$
$$x_{46} = -50.2654822953391$$
$$x_{47} = 43.982297169427$$
$$x_{48} = 75.3982241944528$$
$$x_{49} = -65.9734457650176$$
$$x_{50} = -3.14159311568248$$
$$x_{51} = 47.123889589354$$
$$x_{52} = 40.8407042560881$$
$$x_{53} = -21.9911485864515$$
$$x_{54} = -72.2566308741333$$
$$x_{55} = -25.132741473063$$
$$x_{56} = -15.7079632965264$$
$$x_{57} = -40.8407042660168$$
$$x_{58} = 97.3893725148693$$
$$x_{59} = 91.1061867314459$$
$$x_{60} = 72.256631027719$$
$$x_{61} = 87.9645943357576$$
$$x_{62} = 91.1061871583643$$
$$x_{63} = -3.14159289677385$$
$$x_{64} = 81.6814091761104$$
$$x_{65} = 69.1150381602162$$
$$x_{66} = 28.2743338652012$$
$$x_{67} = 84.8230014093114$$
$$x_{68} = 18.8495554002244$$
$$x_{69} = 62.8318528326557$$
$$x_{70} = -53.4070752836338$$
$$x_{71} = -9.42477812668337$$
$$x_{72} = 9.42477821024198$$
$$x_{73} = 25.1327410188866$$
$$x_{74} = -43.9822971745789$$
$$x_{75} = -69.1150386737158$$
$$x_{76} = 50.2654824463473$$
$$x_{77} = -34.5575189701076$$
$$x_{78} = 56.5486676091327$$
$$x_{79} = 59.6902605976901$$
$$x_{80} = 47.123890018392$$
$$x_{81} = 37.6991120192083$$
$$x_{82} = 34.5575190304759$$
$$x_{83} = -6.28318513794069$$
$$x_{84} = -59.6902604576401$$
$$x_{85} = -25.132741632083$$
$$x_{86} = -28.2743337166085$$
$$x_{87} = 3.14159287686128$$

Точки пересечения с осью координат Y

График пересекает ось Y, когда x равняется 0:
подставляем x = 0 в 4*sin(x)^2.
$$4 \sin^{2}{\left(0 \right)}$$
Результат:
$$f{\left(0 \right)} = 0$$
Точка:

(0, 0)

Экстремумы функции

Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
первая производная
$$8 \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = - \frac{\pi}{2}$$
$$x_{3} = \frac{\pi}{2}$$
Зн. экстремумы в точках:

(0, 0)

 -pi     
(----, 4)
  2      

 pi    
(--, 4)
 2     

Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумы функции в точках:
$$x_{1} = 0$$
Максимумы функции в точках:
$$x_{1} = - \frac{\pi}{2}$$
$$x_{1} = \frac{\pi}{2}$$
Убывает на промежутках
$$\left(-\infty, - \frac{\pi}{2}\right] \cup \left[0, \infty\right)$$
Возрастает на промежутках
$$\left(-\infty, 0\right] \cup \left[\frac{\pi}{2}, \infty\right)$$

Точки перегибов

Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
вторая производная
$$8 \left(- \sin^{2}{\left(x \right)} + \cos^{2}{\left(x \right)}\right) = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = - \frac{\pi}{4}$$
$$x_{2} = \frac{\pi}{4}$$

Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Вогнутая на промежутках
$$\left[- \frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{4}\right]$$
Выпуклая на промежутках
$$\left(-\infty, - \frac{\pi}{4}\right] \cup \left[\frac{\pi}{4}, \infty\right)$$

Горизонтальные асимптоты

Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(4 \sin^{2}{\left(x \right)}\right) = \left\langle 0, 4\right\rangle$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты слева:
$$y = \left\langle 0, 4\right\rangle$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(4 \sin^{2}{\left(x \right)}\right) = \left\langle 0, 4\right\rangle$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты справа:
$$y = \left\langle 0, 4\right\rangle$$

Наклонные асимптоты

Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции 4*sin(x)^2, делённой на x при x->+oo и x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{4 \sin^{2}{\left(x \right)}}{x}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой справа
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{4 \sin^{2}{\left(x \right)}}{x}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой слева

Чётность и нечётность функции

Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
$$4 \sin^{2}{\left(x \right)} = 4 \sin^{2}{\left(x \right)}$$
- Да
$$4 \sin^{2}{\left(x \right)} = - 4 \sin^{2}{\left(x \right)}$$
- Нет
значит, функция
является
чётной

График