График функции y = pi/3+acos(x)

Вы ввели

       pi          
f(x) = -- + acos(x)
       3           

$$f{\left (x \right )} = \operatorname{acos}{\left (x \right )} + \frac{\pi}{3}$$

Точки пересечения с осью координат X

График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
$$\operatorname{acos}{\left (x \right )} + \frac{\pi}{3} = 0$$
Решаем это уравнение
Решения не найдено,
может быть, что график не пересекает ось X

Точки пересечения с осью координат Y

График пересекает ось Y, когда x равняется 0:
подставляем x = 0 в pi/3 + acos(x).
$$\frac{\pi}{3} + \operatorname{acos}{\left (0 \right )}$$
Результат:
$$f{\left (0 \right )} = \frac{5 \pi}{6}$$
Точка:

(0, 5*pi/6)

Экстремумы функции

Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = $$
Первая производная
$$- \frac{1}{\sqrt{- x^{2} + 1}} = 0$$
Решаем это уравнение
Решения не найдены,
возможно экстремумов у функции нет

Точки перегибов

Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = $$
Вторая производная
$$- \frac{x}{\left(- x^{2} + 1\right)^{\frac{3}{2}}} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = 0$$

Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Вогнутая на промежутках

(-oo, 0]

Выпуклая на промежутках

[0, oo)

Горизонтальные асимптоты

Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\operatorname{acos}{\left (x \right )} + \frac{\pi}{3}\right) = \frac{\pi}{3} - \infty i$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты слева:
$$y = \frac{\pi}{3} - \infty i$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\operatorname{acos}{\left (x \right )} + \frac{\pi}{3}\right) = \frac{\pi}{3} + \infty i$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты справа:
$$y = \frac{\pi}{3} + \infty i$$

Наклонные асимптоты

Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции pi/3 + acos(x), делённой на x при x->+oo и x ->-oo

True

Возьмём предел
значит,
уравнение наклонной асимптоты слева:
$$y = x \lim_{x \to -\infty}\left(\frac{1}{x} \left(\operatorname{acos}{\left (x \right )} + \frac{\pi}{3}\right)\right)$$

True

Возьмём предел
значит,
уравнение наклонной асимптоты справа:
$$y = x \lim_{x \to \infty}\left(\frac{1}{x} \left(\operatorname{acos}{\left (x \right )} + \frac{\pi}{3}\right)\right)$$

Чётность и нечётность функции

Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
$$\operatorname{acos}{\left (x \right )} + \frac{\pi}{3} = \operatorname{acos}{\left (- x \right )} + \frac{\pi}{3}$$
- Нет
$$\operatorname{acos}{\left (x \right )} + \frac{\pi}{3} = - \operatorname{acos}{\left (- x \right )} - \frac{\pi}{3}$$
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной