График функции y = 9/x+x/4

Вы ввели

       9   x
f(x) = - + -
       x   4

$$f{\left (x \right )} = \frac{x}{4} + \frac{9}{x}$$

Область определения функции

Точки, в которых функция точно неопределена:
$$x_{1} = 0$$

Точки пересечения с осью координат X

График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
$$\frac{x}{4} + \frac{9}{x} = 0$$
Решаем это уравнение
Решения не найдено,
может быть, что график не пересекает ось X

Точки пересечения с осью координат Y

График пересекает ось Y, когда x равняется 0:
подставляем x = 0 в 9/x + x/4.
$$\frac{9}{0} + \frac{0}{4}$$
Результат:
$$f{\left (0 \right )} = \tilde{\infty}$$
зн.f не пересекает Y

Экстремумы функции

Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} =$$
Первая производная
$$\frac{1}{4} - \frac{9}{x^{2}} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = -6$$
$$x_{2} = 6$$
Зн. экстремумы в точках:

(-6, -3)

(6, 3)

Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумы функции в точках:
$$x_{2} = 6$$
Максимумы функции в точках:
$$x_{2} = -6$$
Убывает на промежутках

(-oo, -6] U [6, oo)

Возрастает на промежутках

[-6, 6]

Точки перегибов

Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} =$$
Вторая производная
$$\frac{18}{x^{3}} = 0$$
Решаем это уравнение
Решения не найдены,
возможно перегибов у функции нет

Вертикальные асимптоты

Есть:
$$x_{1} = 0$$

Горизонтальные асимптоты

Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x}{4} + \frac{9}{x}\right) = -\infty$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты слева не существует
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x}{4} + \frac{9}{x}\right) = \infty$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты справа не существует

Наклонные асимптоты

Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции 9/x + x/4, делённой на x при x->+oo и x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{1}{x} \left(\frac{x}{4} + \frac{9}{x}\right)\right) = \frac{1}{4}$$
Возьмём предел
значит,
уравнение наклонной асимптоты слева:
$$y = \frac{x}{4}$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{1}{x} \left(\frac{x}{4} + \frac{9}{x}\right)\right) = \frac{1}{4}$$
Возьмём предел
значит,
уравнение наклонной асимптоты справа:
$$y = \frac{x}{4}$$

Чётность и нечётность функции

Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
$$\frac{x}{4} + \frac{9}{x} = - \frac{x}{4} - \frac{9}{x}$$
- Нет
$$\frac{x}{4} + \frac{9}{x} = - \frac{-1 x}{4} - - \frac{9}{x}$$
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной