График функции y = (2-sin(y))/2

Вы ввели

       2 - sin(y)
f(y) = ----------
           2     

$$f{\left (y \right )} = \frac{1}{2} \left(- \sin{\left (y \right )} + 2\right)$$

Точки пересечения с осью координат X

График функции пересекает ось Y при f = 0
значит надо решить уравнение:
$$\frac{1}{2} \left(- \sin{\left (y \right )} + 2\right) = 0$$
Решаем это уравнение
Решения не найдено,
может быть, что график не пересекает ось Y

Точки пересечения с осью координат Y

График пересекает ось Y, когда y равняется 0:
подставляем y = 0 в (2 - sin(y))/2.
$$\frac{1}{2} \left(- \sin{\left (0 \right )} + 2\right)$$
Результат:
$$f{\left (0 \right )} = 1$$
Точка:

(0, 1)

Экстремумы функции

Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$\frac{d}{d y} f{\left (y \right )} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d y} f{\left (y \right )} =$$
Первая производная
$$- \frac{1}{2} \cos{\left (y \right )} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$y_{1} = \frac{\pi}{2}$$
$$y_{2} = \frac{3 \pi}{2}$$
Зн. экстремумы в точках:

 pi  1 
(--, -)
 2   2 

 3*pi      
(----, 3/2)
  2        

Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумы функции в точках:
$$y_{2} = \frac{\pi}{2}$$
Максимумы функции в точках:
$$y_{2} = \frac{3 \pi}{2}$$
Убывает на промежутках

[pi/2, 3*pi/2]

Возрастает на промежутках

(-oo, pi/2] U [3*pi/2, oo)

Точки перегибов

Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
$$\frac{d^{2}}{d y^{2}} f{\left (y \right )} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d y^{2}} f{\left (y \right )} =$$
Вторая производная
$$\frac{1}{2} \sin{\left (y \right )} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$y_{1} = 0$$
$$y_{2} = \pi$$

Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Вогнутая на промежутках

[0, pi]

Выпуклая на промежутках

(-oo, 0] U [pi, oo)

Горизонтальные асимптоты

Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при y->+oo и y->-oo
$$\lim_{y \to -\infty}\left(\frac{1}{2} \left(- \sin{\left (y \right )} + 2\right)\right) = \langle \frac{1}{2}, \frac{3}{2}\rangle$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты слева:
$$y = \langle \frac{1}{2}, \frac{3}{2}\rangle$$
$$\lim_{y \to \infty}\left(\frac{1}{2} \left(- \sin{\left (y \right )} + 2\right)\right) = \langle \frac{1}{2}, \frac{3}{2}\rangle$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты справа:
$$y = \langle \frac{1}{2}, \frac{3}{2}\rangle$$

Наклонные асимптоты

Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции (2 - sin(y))/2, делённой на y при y->+oo и y ->-oo
$$\lim_{y \to -\infty}\left(\frac{1}{2 y} \left(- \sin{\left (y \right )} + 2\right)\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой справа
$$\lim_{y \to \infty}\left(\frac{1}{2 y} \left(- \sin{\left (y \right )} + 2\right)\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой слева

Чётность и нечётность функции

Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-y) и f = -f(-y).
Итак, проверяем:
$$\frac{1}{2} \left(- \sin{\left (y \right )} + 2\right) = \frac{1}{2} \sin{\left (y \right )} + 1$$
- Нет
$$\frac{1}{2} \left(- \sin{\left (y \right )} + 2\right) = - \frac{1}{2} \sin{\left (y \right )} - 1$$
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной