График функции y = 2-3*cos(x)

Вы ввели

f(x) = 2 - 3*cos(x)

$$f{\left(x \right)} = 2 - 3 \cos{\left(x \right)}$$

Точки пересечения с осью координат X

График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
$$2 - 3 \cos{\left(x \right)} = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:

Аналитическое решение
$$x_{1} = - \operatorname{acos}{\left(\frac{2}{3} \right)} + 2 \pi$$
$$x_{2} = \operatorname{acos}{\left(\frac{2}{3} \right)}$$
Численное решение
$$x_{1} = 5.44211663661166$$
$$x_{2} = 93.4067109371259$$
$$x_{3} = -43.1412284796892$$
$$x_{4} = -61.9907844012279$$
$$x_{5} = 68.2739697084075$$
$$x_{6} = 88.8056629710821$$
$$x_{7} = -30.57485786533$$
$$x_{8} = -55.7075990940483$$
$$x_{9} = 32.2569952064659$$
$$x_{10} = 76.239292356723$$
$$x_{11} = 44.823365820825$$
$$x_{12} = -57.3897364351842$$
$$x_{13} = 95.0888482782617$$
$$x_{14} = 30.57485786533$$
$$x_{15} = 87.1235256299463$$
$$x_{16} = -38.5401805136454$$
$$x_{17} = -19.6906245921067$$
$$x_{18} = 43.1412284796892$$
$$x_{19} = -82.5224776639025$$
$$x_{20} = 0.84106867056793$$
$$x_{21} = -13.4074392849271$$
$$x_{22} = -36.8580431725096$$
$$x_{23} = 36.8580431725096$$
$$x_{24} = -24.2916725581504$$
$$x_{25} = -7.12425397774752$$
$$x_{26} = -49.4244137868688$$
$$x_{27} = 18.0084872509708$$
$$x_{28} = -69.9561070495434$$
$$x_{29} = -18.0084872509708$$
$$x_{30} = 25.9738098992863$$
$$x_{31} = -44.823365820825$$
$$x_{32} = -88.8056629710821$$
$$x_{33} = -68.2739697084075$$
$$x_{34} = 38.5401805136454$$
$$x_{35} = 80.8403403227667$$
$$x_{36} = 7.12425397774752$$
$$x_{37} = 61.9907844012279$$
$$x_{38} = -5.44211663661166$$
$$x_{39} = 57.3897364351842$$
$$x_{40} = 55.7075990940483$$
$$x_{41} = -76.239292356723$$
$$x_{42} = -25.9738098992863$$
$$x_{43} = 69.9561070495434$$
$$x_{44} = -63.6729217423638$$
$$x_{45} = -101.372033585441$$
$$x_{46} = 74.5571550155871$$
$$x_{47} = 13.4074392849271$$
$$x_{48} = 19.6906245921067$$
$$x_{49} = -51.1065511280046$$
$$x_{50} = 99.6898962443055$$
$$x_{51} = 11.7253019437912$$
$$x_{52} = -99.6898962443055$$
$$x_{53} = 24.2916725581504$$
$$x_{54} = 63.6729217423638$$
$$x_{55} = 82.5224776639025$$
$$x_{56} = -11.7253019437912$$
$$x_{57} = -0.84106867056793$$
$$x_{58} = 49.4244137868688$$
$$x_{59} = -74.5571550155871$$
$$x_{60} = -80.8403403227667$$
$$x_{61} = -93.4067109371259$$
$$x_{62} = -95.0888482782617$$
$$x_{63} = -32.2569952064659$$
$$x_{64} = 51.1065511280046$$
$$x_{65} = -87.1235256299463$$

Точки пересечения с осью координат Y

График пересекает ось Y, когда x равняется 0:
подставляем x = 0 в 2 - 3*cos(x).
$$2 - 3 \cos{\left(0 \right)}$$
Результат:
$$f{\left(0 \right)} = -1$$
Точка:

(0, -1)

Экстремумы функции

Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =$$
первая производная
$$3 \sin{\left(x \right)} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = \pi$$
Зн. экстремумы в точках:

(0, -1)

(pi, 5)

Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумы функции в точках:
$$x_{1} = 0$$
Максимумы функции в точках:
$$x_{1} = \pi$$
Убывает на промежутках
$$\left[0, \pi\right]$$
Возрастает на промежутках
$$\left(-\infty, 0\right] \cup \left[\pi, \infty\right)$$

Точки перегибов

Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =$$
вторая производная
$$3 \cos{\left(x \right)} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = \frac{\pi}{2}$$
$$x_{2} = \frac{3 \pi}{2}$$

Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Вогнутая на промежутках
$$\left(-\infty, \frac{\pi}{2}\right] \cup \left[\frac{3 \pi}{2}, \infty\right)$$
Выпуклая на промежутках
$$\left[\frac{\pi}{2}, \frac{3 \pi}{2}\right]$$

Горизонтальные асимптоты

Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(2 - 3 \cos{\left(x \right)}\right) = \left\langle -1, 5\right\rangle$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты слева:
$$y = \left\langle -1, 5\right\rangle$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(2 - 3 \cos{\left(x \right)}\right) = \left\langle -1, 5\right\rangle$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты справа:
$$y = \left\langle -1, 5\right\rangle$$

Наклонные асимптоты

Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции 2 - 3*cos(x), делённой на x при x->+oo и x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{2 - 3 \cos{\left(x \right)}}{x}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой справа
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{2 - 3 \cos{\left(x \right)}}{x}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой слева

Чётность и нечётность функции

Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
$$2 - 3 \cos{\left(x \right)} = 2 - 3 \cos{\left(x \right)}$$
- Да
$$2 - 3 \cos{\left(x \right)} = 3 \cos{\left(x \right)} - 2$$
- Нет
значит, функция
является
чётной

График