График функции y = 2+cos(4*x)

Вы ввели

f(x) = 2 + cos(4*x)

$$f{\left (x \right )} = \cos{\left (4 x \right )} + 2$$

Точки пересечения с осью координат X

График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
$$\cos{\left (4 x \right )} + 2 = 0$$
Решаем это уравнение
Решения не найдено,
может быть, что график не пересекает ось X

Точки пересечения с осью координат Y

График пересекает ось Y, когда x равняется 0:
подставляем x = 0 в 2 + cos(4*x).
$$\cos{\left (0 \cdot 4 \right )} + 2$$
Результат:
$$f{\left (0 \right )} = 3$$
Точка:

(0, 3)

Экстремумы функции

Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = $$
Первая производная
$$- 4 \sin{\left (4 x \right )} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = \frac{\pi}{4}$$
Зн. экстремумы в точках:

(0, 3)

 pi    
(--, 1)
 4     

Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумы функции в точках:
$$x_{2} = \frac{\pi}{4}$$
Максимумы функции в точках:
$$x_{2} = 0$$
Убывает на промежутках

(-oo, 0] U [pi/4, oo)

Возрастает на промежутках

[0, pi/4]

Точки перегибов

Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = $$
Вторая производная
$$- 16 \cos{\left (4 x \right )} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = \frac{\pi}{8}$$
$$x_{2} = \frac{3 \pi}{8}$$

Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Вогнутая на промежутках

[pi/8, 3*pi/8]

Выпуклая на промежутках

(-oo, pi/8] U [3*pi/8, oo)

Горизонтальные асимптоты

Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\cos{\left (4 x \right )} + 2\right) = \langle 1, 3\rangle$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты слева:
$$y = \langle 1, 3\rangle$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\cos{\left (4 x \right )} + 2\right) = \langle 1, 3\rangle$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты справа:
$$y = \langle 1, 3\rangle$$

Наклонные асимптоты

Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции 2 + cos(4*x), делённой на x при x->+oo и x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{1}{x} \left(\cos{\left (4 x \right )} + 2\right)\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой справа
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{1}{x} \left(\cos{\left (4 x \right )} + 2\right)\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой слева

Чётность и нечётность функции

Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
$$\cos{\left (4 x \right )} + 2 = \cos{\left (4 x \right )} + 2$$
- Да
$$\cos{\left (4 x \right )} + 2 = - \cos{\left (4 x \right )} - 2$$
- Нет
значит, функция
является
чётной