График функции y = 2+3*cos(x)

Вы ввели

f(x) = 2 + 3*cos(x)

$$f{\left (x \right )} = 3 \cos{\left (x \right )} + 2$$

Точки пересечения с осью координат X

График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
$$3 \cos{\left (x \right )} + 2 = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:

Аналитическое решение
$$x_{1} = - \operatorname{acos}{\left (- \frac{2}{3} \right )} + 2 \pi$$
$$x_{2} = \operatorname{acos}{\left (- \frac{2}{3} \right )}$$
Численное решение
$$x_{1} = 5236.19388486$$
$$x_{2} = 83.9819329764$$
$$x_{3} = -85.6640703175$$
$$x_{4} = 91.9472556247$$
$$x_{5} = -10.2658466313$$
$$x_{6} = 96.5483035907$$
$$x_{7} = 8.5837092902$$
$$x_{8} = 54.2481437816$$
$$x_{9} = 90.2651182835$$
$$x_{10} = 3866.4594879$$
$$x_{11} = 35.3985878601$$
$$x_{12} = -66.814514396$$
$$x_{13} = -65.1323770548$$
$$x_{14} = 79.3808850103$$
$$x_{15} = -27.4332652117$$
$$x_{16} = 3.98266132416$$
$$x_{17} = -54.2481437816$$
$$x_{18} = -90.2651182835$$
$$x_{19} = 46.2828211333$$
$$x_{20} = 85.6640703175$$
$$x_{21} = -73.0976997031$$
$$x_{22} = 41.6817731672$$
$$x_{23} = 14.8668945974$$
$$x_{24} = 21.1500799046$$
$$x_{25} = -2.30052398302$$
$$x_{26} = -8.5837092902$$
$$x_{27} = 52.5660064405$$
$$x_{28} = -58.8491917476$$
$$x_{29} = 65.1323770548$$
$$x_{30} = 22.8322172457$$
$$x_{31} = -14.8668945974$$
$$x_{32} = 10.2658466313$$
$$x_{33} = -22.8322172457$$
$$x_{34} = -33.7164505189$$
$$x_{35} = 16.5490319385$$
$$x_{36} = -83.9819329764$$
$$x_{37} = 47.9649584744$$
$$x_{38} = -46.2828211333$$
$$x_{39} = 73.0976997031$$
$$x_{40} = 58.8491917476$$
$$x_{41} = 27.4332652117$$
$$x_{42} = -35.3985878601$$
$$x_{43} = -77.6987476692$$
$$x_{44} = -47.9649584744$$
$$x_{45} = 33.7164505189$$
$$x_{46} = -39.9996358261$$
$$x_{47} = -79.3808850103$$
$$x_{48} = -3.98266132416$$
$$x_{49} = 29.1154025529$$
$$x_{50} = -91.9472556247$$
$$x_{51} = 2.30052398302$$
$$x_{52} = 60.5313290888$$
$$x_{53} = 98.2304409319$$
$$x_{54} = -41.6817731672$$
$$x_{55} = -98.2304409319$$
$$x_{56} = -29.1154025529$$
$$x_{57} = -96.5483035907$$
$$x_{58} = 39.9996358261$$
$$x_{59} = 77.6987476692$$
$$x_{60} = -21.1500799046$$
$$x_{61} = -60.5313290888$$
$$x_{62} = 71.415562362$$
$$x_{63} = -16.5490319385$$
$$x_{64} = 605.486313472$$
$$x_{65} = 66.814514396$$
$$x_{66} = -71.415562362$$
$$x_{67} = -52.5660064405$$

Точки пересечения с осью координат Y

График пересекает ось Y, когда x равняется 0:
подставляем x = 0 в 2 + 3*cos(x).
$$2 + 3 \cos{\left (0 \right )}$$
Результат:
$$f{\left (0 \right )} = 5$$
Точка:

(0, 5)

Экстремумы функции

Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = $$
Первая производная
$$- 3 \sin{\left (x \right )} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = \pi$$
Зн. экстремумы в точках:

(0, 5)

(pi, -1)

Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумы функции в точках:
$$x_{2} = \pi$$
Максимумы функции в точках:
$$x_{2} = 0$$
Убывает на промежутках

(-oo, 0] U [pi, oo)

Возрастает на промежутках

[0, pi]

Точки перегибов

Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = $$
Вторая производная
$$- 3 \cos{\left (x \right )} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = \frac{\pi}{2}$$
$$x_{2} = \frac{3 \pi}{2}$$

Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Вогнутая на промежутках

[pi/2, 3*pi/2]

Выпуклая на промежутках

(-oo, pi/2] U [3*pi/2, oo)

Горизонтальные асимптоты

Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(3 \cos{\left (x \right )} + 2\right) = \langle -1, 5\rangle$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты слева:
$$y = \langle -1, 5\rangle$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(3 \cos{\left (x \right )} + 2\right) = \langle -1, 5\rangle$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты справа:
$$y = \langle -1, 5\rangle$$

Наклонные асимптоты

Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции 2 + 3*cos(x), делённой на x при x->+oo и x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{1}{x} \left(3 \cos{\left (x \right )} + 2\right)\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой справа
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{1}{x} \left(3 \cos{\left (x \right )} + 2\right)\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой слева

Чётность и нечётность функции

Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
$$3 \cos{\left (x \right )} + 2 = 3 \cos{\left (x \right )} + 2$$
- Да
$$3 \cos{\left (x \right )} + 2 = - 3 \cos{\left (x \right )} - 2$$
- Нет
значит, функция
является
чётной