График функции y = 2*cos(x)-1

Учитель очень удивится увидев твоё верное решение 😼

v

График:

от до

Точки пересечения:

Кусочно-заданная:

{ кусочно-заданную функцию ввести здесь.

Решение

Вы ввели [src]
f(x) = 2*cos(x) - 1
f(x)=2cos(x)1f{\left(x \right)} = 2 \cos{\left(x \right)} - 1
График функции
0-50-40-30-20-10102030405060705-5
Точки пересечения с осью координат X
График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
2cos(x)1=02 \cos{\left(x \right)} - 1 = 0
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:

Аналитическое решение
x1=π3x_{1} = \frac{\pi}{3}
x2=5π3x_{2} = \frac{5 \pi}{3}
Численное решение
x1=51.3126800086333x_{1} = -51.3126800086333
x2=5.23598775598299x_{2} = 5.23598775598299
x3=76.4454212373516x_{3} = 76.4454212373516
x4=70.162235930172x_{4} = -70.162235930172
x5=57.5958653158129x_{5} = -57.5958653158129
x6=38.7463093942741x_{6} = -38.7463093942741
x7=1.0471975511966x_{7} = -1.0471975511966
x8=74.3510261349584x_{8} = 74.3510261349584
x9=82.7286065445312x_{9} = 82.7286065445312
x10=80.634211442138x_{10} = -80.634211442138
x11=63.8790506229925x_{11} = 63.8790506229925
x12=1.0471975511966x_{12} = 1.0471975511966
x13=11.5191730631626x_{13} = -11.5191730631626
x14=55.5014702134197x_{14} = -55.5014702134197
x15=89.0117918517108x_{15} = -89.0117918517108
x16=32.4631240870945x_{16} = 32.4631240870945
x17=86.9173967493176x_{17} = -86.9173967493176
x18=7.33038285837618x_{18} = 7.33038285837618
x19=24.0855436775217x_{19} = 24.0855436775217
x20=7.33038285837618x_{20} = -7.33038285837618
x21=38.7463093942741x_{21} = 38.7463093942741
x22=51.3126800086333x_{22} = 51.3126800086333
x23=26.1799387799149x_{23} = -26.1799387799149
x24=95.2949771588904x_{24} = 95.2949771588904
x25=13.6135681655558x_{25} = -13.6135681655558
x26=17.8023583703422x_{26} = -17.8023583703422
x27=57.5958653158129x_{27} = 57.5958653158129
x28=19.8967534727354x_{28} = 19.8967534727354
x29=68.0678408277789x_{29} = -68.0678408277789
x30=13.6135681655558x_{30} = 13.6135681655558
x31=93.2005820564972x_{31} = 93.2005820564972
x32=61.7846555205993x_{32} = 61.7846555205993
x33=36.6519142918809x_{33} = -36.6519142918809
x34=42.9350995990605x_{34} = -42.9350995990605
x35=61.7846555205993x_{35} = -61.7846555205993
x36=359.188760060433x_{36} = -359.188760060433
x37=17.8023583703422x_{37} = 17.8023583703422
x38=82.7286065445312x_{38} = -82.7286065445312
x39=95.2949771588904x_{39} = -95.2949771588904
x40=99.4837673636768x_{40} = -99.4837673636768
x41=42.9350995990605x_{41} = 42.9350995990605
x42=26.1799387799149x_{42} = 26.1799387799149
x43=19.8967534727354x_{43} = -19.8967534727354
x44=49.2182849062401x_{44} = -49.2182849062401
x45=30.3687289847013x_{45} = 30.3687289847013
x46=55.5014702134197x_{46} = 55.5014702134197
x47=5.23598775598299x_{47} = -5.23598775598299
x48=11.5191730631626x_{48} = 11.5191730631626
x49=93.2005820564972x_{49} = -93.2005820564972
x50=76.4454212373516x_{50} = -76.4454212373516
x51=32.4631240870945x_{51} = -32.4631240870945
x52=36.6519142918809x_{52} = 36.6519142918809
x53=89.0117918517108x_{53} = 89.0117918517108
x54=74.3510261349584x_{54} = -74.3510261349584
x55=68.0678408277789x_{55} = 68.0678408277789
x56=225.147473507269x_{56} = -225.147473507269
x57=45.0294947014537x_{57} = 45.0294947014537
x58=45.0294947014537x_{58} = -45.0294947014537
x59=86.9173967493176x_{59} = 86.9173967493176
x60=63.8790506229925x_{60} = -63.8790506229925
x61=70.162235930172x_{61} = 70.162235930172
x62=30.3687289847013x_{62} = -30.3687289847013
x63=49.2182849062401x_{63} = 49.2182849062401
x64=24.0855436775217x_{64} = -24.0855436775217
x65=99.4837673636768x_{65} = 99.4837673636768
x66=80.634211442138x_{66} = 80.634211442138
x67=1651.43053823704x_{67} = 1651.43053823704
Точки пересечения с осью координат Y
График пересекает ось Y, когда x равняется 0:
подставляем x = 0 в 2*cos(x) - 1*1.
(1)1+2cos(0)\left(-1\right) 1 + 2 \cos{\left(0 \right)}
Результат:
f(0)=1f{\left(0 \right)} = 1
Точка:
(0, 1)
Экстремумы функции
Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
первая производная
2sin(x)=0- 2 \sin{\left(x \right)} = 0
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
x1=0x_{1} = 0
x2=πx_{2} = \pi
Зн. экстремумы в точках:
(0, 2 - 1)

(pi, -2 - 1)


Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумы функции в точках:
x1=πx_{1} = \pi
Максимумы функции в точках:
x1=0x_{1} = 0
Убывает на промежутках
(,0][π,)\left(-\infty, 0\right] \cup \left[\pi, \infty\right)
Возрастает на промежутках
[0,π]\left[0, \pi\right]
Точки перегибов
Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
вторая производная
2cos(x)=0- 2 \cos{\left(x \right)} = 0
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
x1=π2x_{1} = \frac{\pi}{2}
x2=3π2x_{2} = \frac{3 \pi}{2}

Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Вогнутая на промежутках
[π2,3π2]\left[\frac{\pi}{2}, \frac{3 \pi}{2}\right]
Выпуклая на промежутках
(,π2][3π2,)\left(-\infty, \frac{\pi}{2}\right] \cup \left[\frac{3 \pi}{2}, \infty\right)
Горизонтальные асимптоты
Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
limx(2cos(x)1)=3,1\lim_{x \to -\infty}\left(2 \cos{\left(x \right)} - 1\right) = \left\langle -3, 1\right\rangle
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты слева:
y=3,1y = \left\langle -3, 1\right\rangle
limx(2cos(x)1)=3,1\lim_{x \to \infty}\left(2 \cos{\left(x \right)} - 1\right) = \left\langle -3, 1\right\rangle
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты справа:
y=3,1y = \left\langle -3, 1\right\rangle
Наклонные асимптоты
Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции 2*cos(x) - 1*1, делённой на x при x->+oo и x ->-oo
limx(2cos(x)1x)=0\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{2 \cos{\left(x \right)} - 1}{x}\right) = 0
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой справа
limx(2cos(x)1x)=0\lim_{x \to \infty}\left(\frac{2 \cos{\left(x \right)} - 1}{x}\right) = 0
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой слева
Чётность и нечётность функции
Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
2cos(x)1=2cos(x)12 \cos{\left(x \right)} - 1 = 2 \cos{\left(x \right)} - 1
- Да
2cos(x)1=12cos(x)2 \cos{\left(x \right)} - 1 = 1 - 2 \cos{\left(x \right)}
- Нет
значит, функция
является
чётной
График
График функции y = 2*cos(x)-1 /media/krcore-image-pods/hash/xy/b/5a/6fdf919a970c673ede538b06a417f.png