График функции y = 2*cos(x)-1

Вы ввели

f(x) = 2*cos(x) - 1

$$f{\left(x \right)} = 2 \cos{\left(x \right)} - 1$$

Точки пересечения с осью координат X

График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
$$2 \cos{\left(x \right)} - 1 = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:

Аналитическое решение
$$x_{1} = \frac{\pi}{3}$$
$$x_{2} = \frac{5 \pi}{3}$$
Численное решение
$$x_{1} = -51.3126800086333$$
$$x_{2} = 5.23598775598299$$
$$x_{3} = 76.4454212373516$$
$$x_{4} = -70.162235930172$$
$$x_{5} = -57.5958653158129$$
$$x_{6} = -38.7463093942741$$
$$x_{7} = -1.0471975511966$$
$$x_{8} = 74.3510261349584$$
$$x_{9} = 82.7286065445312$$
$$x_{10} = -80.634211442138$$
$$x_{11} = 63.8790506229925$$
$$x_{12} = 1.0471975511966$$
$$x_{13} = -11.5191730631626$$
$$x_{14} = -55.5014702134197$$
$$x_{15} = -89.0117918517108$$
$$x_{16} = 32.4631240870945$$
$$x_{17} = -86.9173967493176$$
$$x_{18} = 7.33038285837618$$
$$x_{19} = 24.0855436775217$$
$$x_{20} = -7.33038285837618$$
$$x_{21} = 38.7463093942741$$
$$x_{22} = 51.3126800086333$$
$$x_{23} = -26.1799387799149$$
$$x_{24} = 95.2949771588904$$
$$x_{25} = -13.6135681655558$$
$$x_{26} = -17.8023583703422$$
$$x_{27} = 57.5958653158129$$
$$x_{28} = 19.8967534727354$$
$$x_{29} = -68.0678408277789$$
$$x_{30} = 13.6135681655558$$
$$x_{31} = 93.2005820564972$$
$$x_{32} = 61.7846555205993$$
$$x_{33} = -36.6519142918809$$
$$x_{34} = -42.9350995990605$$
$$x_{35} = -61.7846555205993$$
$$x_{36} = -359.188760060433$$
$$x_{37} = 17.8023583703422$$
$$x_{38} = -82.7286065445312$$
$$x_{39} = -95.2949771588904$$
$$x_{40} = -99.4837673636768$$
$$x_{41} = 42.9350995990605$$
$$x_{42} = 26.1799387799149$$
$$x_{43} = -19.8967534727354$$
$$x_{44} = -49.2182849062401$$
$$x_{45} = 30.3687289847013$$
$$x_{46} = 55.5014702134197$$
$$x_{47} = -5.23598775598299$$
$$x_{48} = 11.5191730631626$$
$$x_{49} = -93.2005820564972$$
$$x_{50} = -76.4454212373516$$
$$x_{51} = -32.4631240870945$$
$$x_{52} = 36.6519142918809$$
$$x_{53} = 89.0117918517108$$
$$x_{54} = -74.3510261349584$$
$$x_{55} = 68.0678408277789$$
$$x_{56} = -225.147473507269$$
$$x_{57} = 45.0294947014537$$
$$x_{58} = -45.0294947014537$$
$$x_{59} = 86.9173967493176$$
$$x_{60} = -63.8790506229925$$
$$x_{61} = 70.162235930172$$
$$x_{62} = -30.3687289847013$$
$$x_{63} = 49.2182849062401$$
$$x_{64} = -24.0855436775217$$
$$x_{65} = 99.4837673636768$$
$$x_{66} = 80.634211442138$$
$$x_{67} = 1651.43053823704$$

Точки пересечения с осью координат Y

График пересекает ось Y, когда x равняется 0:
подставляем x = 0 в 2*cos(x) - 1*1.
$$\left(-1\right) 1 + 2 \cos{\left(0 \right)}$$
Результат:
$$f{\left(0 \right)} = 1$$
Точка:

(0, 1)

Экстремумы функции

Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
первая производная
$$- 2 \sin{\left(x \right)} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = \pi$$
Зн. экстремумы в точках:

(0, 2 - 1)

(pi, -2 - 1)

Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумы функции в точках:
$$x_{1} = \pi$$
Максимумы функции в точках:
$$x_{1} = 0$$
Убывает на промежутках
$$\left(-\infty, 0\right] \cup \left[\pi, \infty\right)$$
Возрастает на промежутках
$$\left[0, \pi\right]$$

Точки перегибов

Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
вторая производная
$$- 2 \cos{\left(x \right)} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = \frac{\pi}{2}$$
$$x_{2} = \frac{3 \pi}{2}$$

Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Вогнутая на промежутках
$$\left[\frac{\pi}{2}, \frac{3 \pi}{2}\right]$$
Выпуклая на промежутках
$$\left(-\infty, \frac{\pi}{2}\right] \cup \left[\frac{3 \pi}{2}, \infty\right)$$

Горизонтальные асимптоты

Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(2 \cos{\left(x \right)} - 1\right) = \left\langle -3, 1\right\rangle$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты слева:
$$y = \left\langle -3, 1\right\rangle$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(2 \cos{\left(x \right)} - 1\right) = \left\langle -3, 1\right\rangle$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты справа:
$$y = \left\langle -3, 1\right\rangle$$

Наклонные асимптоты

Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции 2*cos(x) - 1*1, делённой на x при x->+oo и x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{2 \cos{\left(x \right)} - 1}{x}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой справа
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{2 \cos{\left(x \right)} - 1}{x}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой слева

Чётность и нечётность функции

Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
$$2 \cos{\left(x \right)} - 1 = 2 \cos{\left(x \right)} - 1$$
- Да
$$2 \cos{\left(x \right)} - 1 = 1 - 2 \cos{\left(x \right)}$$
- Нет
значит, функция
является
чётной

График