График функции y = 2*cos(x)+1

Вы ввели

f(x) = 2*cos(x) + 1

$$f{\left(x \right)} = 2 \cos{\left(x \right)} + 1$$

Точки пересечения с осью координат X

График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
$$2 \cos{\left(x \right)} + 1 = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:

Аналитическое решение
$$x_{1} = \frac{2 \pi}{3}$$
$$x_{2} = \frac{4 \pi}{3}$$
Численное решение
$$x_{1} = -1623.15620435473$$
$$x_{2} = 77.4926187885482$$
$$x_{3} = 58.6430628670095$$
$$x_{4} = -10.471975511966$$
$$x_{5} = -79.5870138909414$$
$$x_{6} = 33.5103216382911$$
$$x_{7} = -60.7374579694027$$
$$x_{8} = -92.1533845053006$$
$$x_{9} = -67.0206432765823$$
$$x_{10} = 16.7551608191456$$
$$x_{11} = -4.18879020478639$$
$$x_{12} = 4.18879020478639$$
$$x_{13} = 8.37758040957278$$
$$x_{14} = 48.1710873550435$$
$$x_{15} = 96.342174710087$$
$$x_{16} = 117.286125734019$$
$$x_{17} = -14.6607657167524$$
$$x_{18} = -85.870199198121$$
$$x_{19} = -90.0589894029074$$
$$x_{20} = 14.6607657167524$$
$$x_{21} = 23.0383461263252$$
$$x_{22} = 10.471975511966$$
$$x_{23} = -23.0383461263252$$
$$x_{24} = 90.0589894029074$$
$$x_{25} = -29.3215314335047$$
$$x_{26} = 52.3598775598299$$
$$x_{27} = -8.37758040957278$$
$$x_{28} = 35.6047167406843$$
$$x_{29} = -54.4542726622231$$
$$x_{30} = 46.0766922526503$$
$$x_{31} = 27.2271363311115$$
$$x_{32} = 416.784625376246$$
$$x_{33} = -48.1710873550435$$
$$x_{34} = 39.7935069454707$$
$$x_{35} = 630.412925820352$$
$$x_{36} = 60.7374579694027$$
$$x_{37} = -35.6047167406843$$
$$x_{38} = -73.3038285837618$$
$$x_{39} = 73.3038285837618$$
$$x_{40} = -20.943951023932$$
$$x_{41} = -33.5103216382911$$
$$x_{42} = 41.8879020478639$$
$$x_{43} = 98.4365698124802$$
$$x_{44} = -71.2094334813686$$
$$x_{45} = -16.7551608191456$$
$$x_{46} = -58.6430628670095$$
$$x_{47} = 67.0206432765823$$
$$x_{48} = 20.943951023932$$
$$x_{49} = -52.3598775598299$$
$$x_{50} = -27.2271363311115$$
$$x_{51} = -96.342174710087$$
$$x_{52} = -39.7935069454707$$
$$x_{53} = -83.7758040957278$$
$$x_{54} = -98.4365698124802$$
$$x_{55} = 79.5870138909414$$
$$x_{56} = 54.4542726622231$$
$$x_{57} = 64.9262481741891$$
$$x_{58} = 92.1533845053006$$
$$x_{59} = -77.4926187885482$$
$$x_{60} = -46.0766922526503$$
$$x_{61} = -41.8879020478639$$
$$x_{62} = -2.0943951023932$$
$$x_{63} = -64.9262481741891$$
$$x_{64} = 71.2094334813686$$
$$x_{65} = 29.3215314335047$$
$$x_{66} = 85.870199198121$$
$$x_{67} = 2.0943951023932$$
$$x_{68} = 83.7758040957278$$

Точки пересечения с осью координат Y

График пересекает ось Y, когда x равняется 0:
подставляем x = 0 в 2*cos(x) + 1.
$$1 + 2 \cos{\left(0 \right)}$$
Результат:
$$f{\left(0 \right)} = 3$$
Точка:

(0, 3)

Экстремумы функции

Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
первая производная
$$- 2 \sin{\left(x \right)} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = \pi$$
Зн. экстремумы в точках:

(0, 3)

(pi, -1)

Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумы функции в точках:
$$x_{1} = \pi$$
Максимумы функции в точках:
$$x_{1} = 0$$
Убывает на промежутках
$$\left(-\infty, 0\right] \cup \left[\pi, \infty\right)$$
Возрастает на промежутках
$$\left[0, \pi\right]$$

Точки перегибов

Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
вторая производная
$$- 2 \cos{\left(x \right)} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = \frac{\pi}{2}$$
$$x_{2} = \frac{3 \pi}{2}$$

Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Вогнутая на промежутках
$$\left[\frac{\pi}{2}, \frac{3 \pi}{2}\right]$$
Выпуклая на промежутках
$$\left(-\infty, \frac{\pi}{2}\right] \cup \left[\frac{3 \pi}{2}, \infty\right)$$

Горизонтальные асимптоты

Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(2 \cos{\left(x \right)} + 1\right) = \left\langle -1, 3\right\rangle$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты слева:
$$y = \left\langle -1, 3\right\rangle$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(2 \cos{\left(x \right)} + 1\right) = \left\langle -1, 3\right\rangle$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты справа:
$$y = \left\langle -1, 3\right\rangle$$

Наклонные асимптоты

Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции 2*cos(x) + 1, делённой на x при x->+oo и x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{2 \cos{\left(x \right)} + 1}{x}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой справа
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{2 \cos{\left(x \right)} + 1}{x}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой слева

Чётность и нечётность функции

Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
$$2 \cos{\left(x \right)} + 1 = 2 \cos{\left(x \right)} + 1$$
- Да
$$2 \cos{\left(x \right)} + 1 = - 2 \cos{\left(x \right)} - 1$$
- Нет
значит, функция
является
чётной

График