График функции y = 2*sin(4*x)

Вы ввели

f(x) = 2*sin(4*x)

$$f{\left (x \right )} = 2 \sin{\left (4 x \right )}$$

Точки пересечения с осью координат X

График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
$$2 \sin{\left (4 x \right )} = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:

Аналитическое решение
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = \frac{\pi}{4}$$
Численное решение
$$x_{1} = -77.7544181763$$
$$x_{2} = -95.8185759345$$
$$x_{3} = 90.3207887907$$
$$x_{4} = 36.1283155163$$
$$x_{5} = -47.9092879672$$
$$x_{6} = 80.1106126665$$
$$x_{7} = 10.9955742876$$
$$x_{8} = 51.8362787842$$
$$x_{9} = 14.1371669412$$
$$x_{10} = 69.9004365424$$
$$x_{11} = -25.9181393921$$
$$x_{12} = -51.8362787842$$
$$x_{13} = -7.85398163397$$
$$x_{14} = 84.0376034835$$
$$x_{15} = 54.1924732744$$
$$x_{16} = -23.5619449019$$
$$x_{17} = 29.8451302091$$
$$x_{18} = 43.9822971503$$
$$x_{19} = 94.2477796077$$
$$x_{20} = -33.7721210261$$
$$x_{21} = 10.2101761242$$
$$x_{22} = -98.1747704247$$
$$x_{23} = 62.0464549084$$
$$x_{24} = 76.1836218496$$
$$x_{25} = -80.1106126665$$
$$x_{26} = -58.1194640914$$
$$x_{27} = 87.9645943005$$
$$x_{28} = -55.7632696012$$
$$x_{29} = -54.1924732744$$
$$x_{30} = 64.4026493986$$
$$x_{31} = 40.0553063333$$
$$x_{32} = -32.2013246993$$
$$x_{33} = 42.4115008235$$
$$x_{34} = -18.0641577581$$
$$x_{35} = -62.0464549084$$
$$x_{36} = -21.9911485751$$
$$x_{37} = -37.6991118431$$
$$x_{38} = 46.3384916404$$
$$x_{39} = 21.9911485751$$
$$x_{40} = -11.780972451$$
$$x_{41} = -1.57079632679$$
$$x_{42} = -29.8451302091$$
$$x_{43} = 0$$
$$x_{44} = -14.1371669412$$
$$x_{45} = 86.3937979737$$
$$x_{46} = 32.2013246993$$
$$x_{47} = -63.6172512352$$
$$x_{48} = 50.2654824574$$
$$x_{49} = -76.1836218496$$
$$x_{50} = 18.0641577581$$
$$x_{51} = -59.6902604182$$
$$x_{52} = 28.2743338823$$
$$x_{53} = -43.9822971503$$
$$x_{54} = -99.7455667515$$
$$x_{55} = -81.6814089933$$
$$x_{56} = -69.9004365424$$
$$x_{57} = 3.92699081699$$
$$x_{58} = 72.2566310326$$
$$x_{59} = 7.85398163397$$
$$x_{60} = -65.9734457254$$
$$x_{61} = -73.8274273594$$
$$x_{62} = -45.5530934771$$
$$x_{63} = 98.1747704247$$
$$x_{64} = -19.6349540849$$
$$x_{65} = -109.170344712$$
$$x_{66} = 24.3473430653$$
$$x_{67} = -84.0376034835$$
$$x_{68} = 2.35619449019$$
$$x_{69} = -41.6261026601$$
$$x_{70} = -91.8915851175$$
$$x_{71} = 20.4203522483$$
$$x_{72} = -15.7079632679$$
$$x_{73} = 65.9734457254$$
$$x_{74} = 25.9181393921$$
$$x_{75} = 17.2787595947$$
$$x_{76} = 181.426975745$$
$$x_{77} = 58.1194640914$$
$$x_{78} = 95.8185759345$$
$$x_{79} = -36.1283155163$$
$$x_{80} = 73.8274273594$$
$$x_{81} = -40.0553063333$$
$$x_{82} = -85.6083998103$$
$$x_{83} = -69.115038379$$
$$x_{84} = 6.28318530718$$
$$x_{85} = -87.9645943005$$
$$x_{86} = 83.2522053201$$
$$x_{87} = 47.9092879672$$
$$x_{88} = -3.92699081699$$
$$x_{89} = 68.3296402156$$
$$x_{90} = -64.4026493986$$
$$x_{91} = 54.9778714378$$
$$x_{92} = -88.7499924639$$
$$x_{93} = 91.8915851175$$
$$x_{94} = -10.9955742876$$

Точки пересечения с осью координат Y

График пересекает ось Y, когда x равняется 0:
подставляем x = 0 в 2*sin(4*x).
$$2 \sin{\left (0 \cdot 4 \right )}$$
Результат:
$$f{\left (0 \right )} = 0$$
Точка:

(0, 0)

Экстремумы функции

Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = $$
Первая производная
$$8 \cos{\left (4 x \right )} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = \frac{\pi}{8}$$
$$x_{2} = \frac{3 \pi}{8}$$
Зн. экстремумы в точках:

 pi    
(--, 2)
 8     

 3*pi     
(----, -2)
  8       

Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумы функции в точках:
$$x_{2} = \frac{3 \pi}{8}$$
Максимумы функции в точках:
$$x_{2} = \frac{\pi}{8}$$
Убывает на промежутках

(-oo, pi/8] U [3*pi/8, oo)

Возрастает на промежутках

[pi/8, 3*pi/8]

Точки перегибов

Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = $$
Вторая производная
$$- 32 \sin{\left (4 x \right )} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = \frac{\pi}{4}$$

Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Вогнутая на промежутках

(-oo, 0] U [pi/4, oo)

Выпуклая на промежутках

[0, pi/4]

Горизонтальные асимптоты

Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(2 \sin{\left (4 x \right )}\right) = \langle -2, 2\rangle$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты слева:
$$y = \langle -2, 2\rangle$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(2 \sin{\left (4 x \right )}\right) = \langle -2, 2\rangle$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты справа:
$$y = \langle -2, 2\rangle$$

Наклонные асимптоты

Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции 2*sin(4*x), делённой на x при x->+oo и x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{2}{x} \sin{\left (4 x \right )}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой справа
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{2}{x} \sin{\left (4 x \right )}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой слева

Чётность и нечётность функции

Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
$$2 \sin{\left (4 x \right )} = - 2 \sin{\left (4 x \right )}$$
- Нет
$$2 \sin{\left (4 x \right )} = - -1 \cdot 2 \sin{\left (4 x \right )}$$
- Да
значит, функция
является
нечётной