График функции y = 2*sin(x/2)

Вы ввели

            /x\
f(x) = 2*sin|-|
            \2/

$$f{\left(x \right)} = 2 \sin{\left(\frac{x}{2} \right)}$$

Точки пересечения с осью координат X

График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
$$2 \sin{\left(\frac{x}{2} \right)} = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:

Аналитическое решение
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = 2 \pi$$
Численное решение
$$x_{1} = -12.5663706143592$$
$$x_{2} = 75.398223686155$$
$$x_{3} = -50.2654824574367$$
$$x_{4} = -62.8318530717959$$
$$x_{5} = 87.9645943005142$$
$$x_{6} = -100.530964914873$$
$$x_{7} = -87.9645943005142$$
$$x_{8} = 0$$
$$x_{9} = 37.6991118430775$$
$$x_{10} = -6.28318530717959$$
$$x_{11} = 43.9822971502571$$
$$x_{12} = -56.5486677646163$$
$$x_{13} = 94.2477796076938$$
$$x_{14} = -69.1150383789755$$
$$x_{15} = -31.4159265358979$$
$$x_{16} = 62.8318530717959$$
$$x_{17} = 18.8495559215388$$
$$x_{18} = -37.6991118430775$$
$$x_{19} = 56.5486677646163$$
$$x_{20} = -75.398223686155$$
$$x_{21} = 81.6814089933346$$
$$x_{22} = -18.8495559215388$$
$$x_{23} = 31.4159265358979$$
$$x_{24} = -226.194671058465$$
$$x_{25} = -43.9822971502571$$
$$x_{26} = -81.6814089933346$$
$$x_{27} = -25.1327412287183$$
$$x_{28} = 50.2654824574367$$
$$x_{29} = 69.1150383789755$$
$$x_{30} = 100.530964914873$$
$$x_{31} = 6.28318530717959$$
$$x_{32} = 25.1327412287183$$
$$x_{33} = -106.814150222053$$
$$x_{34} = -94.2477796076938$$
$$x_{35} = 12.5663706143592$$

Точки пересечения с осью координат Y

График пересекает ось Y, когда x равняется 0:
подставляем x = 0 в 2*sin(x/2).
$$2 \sin{\left(\frac{0}{2} \right)}$$
Результат:
$$f{\left(0 \right)} = 0$$
Точка:

(0, 0)

Экстремумы функции

Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
первая производная
$$\cos{\left(\frac{x}{2} \right)} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = \pi$$
$$x_{2} = 3 \pi$$
Зн. экстремумы в точках:

(pi, 2)

(3*pi, -2)

Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумы функции в точках:
$$x_{1} = 3 \pi$$
Максимумы функции в точках:
$$x_{1} = \pi$$
Убывает на промежутках
$$\left(-\infty, \pi\right] \cup \left[3 \pi, \infty\right)$$
Возрастает на промежутках
$$\left[\pi, 3 \pi\right]$$

Точки перегибов

Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
вторая производная
$$- \frac{\sin{\left(\frac{x}{2} \right)}}{2} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = 2 \pi$$

Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Вогнутая на промежутках
$$\left(-\infty, 0\right] \cup \left[2 \pi, \infty\right)$$
Выпуклая на промежутках
$$\left[0, 2 \pi\right]$$

Горизонтальные асимптоты

Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(2 \sin{\left(\frac{x}{2} \right)}\right) = \left\langle -2, 2\right\rangle$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты слева:
$$y = \left\langle -2, 2\right\rangle$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(2 \sin{\left(\frac{x}{2} \right)}\right) = \left\langle -2, 2\right\rangle$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты справа:
$$y = \left\langle -2, 2\right\rangle$$

Наклонные асимптоты

Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции 2*sin(x/2), делённой на x при x->+oo и x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{2 \sin{\left(\frac{x}{2} \right)}}{x}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой справа
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{2 \sin{\left(\frac{x}{2} \right)}}{x}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой слева

Чётность и нечётность функции

Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
$$2 \sin{\left(\frac{x}{2} \right)} = - 2 \sin{\left(\frac{x}{2} \right)}$$
- Нет
$$2 \sin{\left(\frac{x}{2} \right)} = 2 \sin{\left(\frac{x}{2} \right)}$$
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной

График