График функции y = 2*sin(x)-1

Вы ввели

f(x) = 2*sin(x) - 1

$$f{\left(x \right)} = 2 \sin{\left(x \right)} - 1$$

Точки пересечения с осью координат X

График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
$$2 \sin{\left(x \right)} - 1 = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:

Аналитическое решение
$$x_{1} = \frac{\pi}{6}$$
$$x_{2} = \frac{5 \pi}{6}$$
Численное решение
$$x_{1} = -12.0427718387609$$
$$x_{2} = 34.0339204138894$$
$$x_{3} = 2.61799387799149$$
$$x_{4} = -41.3643032722656$$
$$x_{5} = 6.80678408277789$$
$$x_{6} = 8.90117918517108$$
$$x_{7} = -2650.98060085419$$
$$x_{8} = 40.317105721069$$
$$x_{9} = -16.2315620435473$$
$$x_{10} = -85.3466004225227$$
$$x_{11} = 0.523598775598299$$
$$x_{12} = 65.4498469497874$$
$$x_{13} = -93.7241808320955$$
$$x_{14} = 71.733032256967$$
$$x_{15} = 31.9395253114962$$
$$x_{16} = 44.5058959258554$$
$$x_{17} = -68.5914396033772$$
$$x_{18} = -43.4586983746588$$
$$x_{19} = -24.60914245312$$
$$x_{20} = -3.66519142918809$$
$$x_{21} = -60.2138591938044$$
$$x_{22} = 50.789081233035$$
$$x_{23} = -100.007366139275$$
$$x_{24} = -87.4409955249159$$
$$x_{25} = 38.2227106186758$$
$$x_{26} = 138.753675533549$$
$$x_{27} = 96.8657734856853$$
$$x_{28} = -5.75958653158129$$
$$x_{29} = 57.0722665402146$$
$$x_{30} = 88.4881930761125$$
$$x_{31} = 27.7507351067098$$
$$x_{32} = 19.3731546971371$$
$$x_{33} = -18.3259571459405$$
$$x_{34} = 90.5825881785057$$
$$x_{35} = 84.2994028713261$$
$$x_{36} = -37.1755130674792$$
$$x_{37} = -22.5147473507269$$
$$x_{38} = -81.1578102177363$$
$$x_{39} = -74.8746249105567$$
$$x_{40} = 94.7713783832921$$
$$x_{41} = 15.1843644923507$$
$$x_{42} = 134.564885328763$$
$$x_{43} = -91.6297857297023$$
$$x_{44} = -79.0634151153431$$
$$x_{45} = -62.3082542961976$$
$$x_{46} = -4454.25478401473$$
$$x_{47} = -9.94837673636768$$
$$x_{48} = 17438.4572213013$$
$$x_{49} = 25.6563400043166$$
$$x_{50} = 59.1666616426078$$
$$x_{51} = -66.497044500984$$
$$x_{52} = -53.9306738866248$$
$$x_{53} = 21.4675497995303$$
$$x_{54} = -28.7979326579064$$
$$x_{55} = 82.2050077689329$$
$$x_{56} = -56.025068989018$$
$$x_{57} = 69.6386371545737$$
$$x_{58} = 63.3554518473942$$
$$x_{59} = 52.8834763354282$$
$$x_{60} = 13.0899693899575$$
$$x_{61} = -30.8923277602996$$
$$x_{62} = -72.7802298081635$$
$$x_{63} = 78.0162175641465$$
$$x_{64} = -49.7418836818384$$
$$x_{65} = 101.054563690472$$
$$x_{66} = 75.9218224617533$$
$$x_{67} = -97.9129710368819$$
$$x_{68} = -47.6474885794452$$
$$x_{69} = -627.79493194236$$
$$x_{70} = -35.081117965086$$
$$x_{71} = 46.6002910282486$$

Точки пересечения с осью координат Y

График пересекает ось Y, когда x равняется 0:
подставляем x = 0 в 2*sin(x) - 1*1.
$$\left(-1\right) 1 + 2 \sin{\left(0 \right)}$$
Результат:
$$f{\left(0 \right)} = -1$$
Точка:

(0, -1)

Экстремумы функции

Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
первая производная
$$2 \cos{\left(x \right)} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = \frac{\pi}{2}$$
$$x_{2} = \frac{3 \pi}{2}$$
Зн. экстремумы в точках:

 pi        
(--, 2 - 1)
 2         

 3*pi         
(----, -2 - 1)
  2           

Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумы функции в точках:
$$x_{1} = \frac{3 \pi}{2}$$
Максимумы функции в точках:
$$x_{1} = \frac{\pi}{2}$$
Убывает на промежутках
$$\left(-\infty, \frac{\pi}{2}\right] \cup \left[\frac{3 \pi}{2}, \infty\right)$$
Возрастает на промежутках
$$\left[\frac{\pi}{2}, \frac{3 \pi}{2}\right]$$

Точки перегибов

Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
вторая производная
$$- 2 \sin{\left(x \right)} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = \pi$$

Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Вогнутая на промежутках
$$\left(-\infty, 0\right] \cup \left[\pi, \infty\right)$$
Выпуклая на промежутках
$$\left[0, \pi\right]$$

Горизонтальные асимптоты

Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(2 \sin{\left(x \right)} - 1\right) = \left\langle -3, 1\right\rangle$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты слева:
$$y = \left\langle -3, 1\right\rangle$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(2 \sin{\left(x \right)} - 1\right) = \left\langle -3, 1\right\rangle$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты справа:
$$y = \left\langle -3, 1\right\rangle$$

Наклонные асимптоты

Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции 2*sin(x) - 1*1, делённой на x при x->+oo и x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{2 \sin{\left(x \right)} - 1}{x}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой справа
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{2 \sin{\left(x \right)} - 1}{x}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой слева

Чётность и нечётность функции

Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
$$2 \sin{\left(x \right)} - 1 = - 2 \sin{\left(x \right)} - 1$$
- Нет
$$2 \sin{\left(x \right)} - 1 = 2 \sin{\left(x \right)} + 1$$
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной

График