График функции y = 2*sin(x)+cos(x)

Вы ввели

f(x) = 2*sin(x) + cos(x)

$$f{\left (x \right )} = 2 \sin{\left (x \right )} + \cos{\left (x \right )}$$

Точки пересечения с осью координат X

График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
$$2 \sin{\left (x \right )} + \cos{\left (x \right )} = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:

Аналитическое решение
$$x_{1} = 2 \operatorname{atan}{\left (2 + \sqrt{5} \right )}$$
$$x_{2} = 2 \operatorname{atan}{\left (- \sqrt{5} + 2 \right )}$$
Численное решение
$$x_{1} = -91.5698345631$$
$$x_{2} = 191.17350426$$
$$x_{3} = 835.199998246$$
$$x_{4} = -63.2955006808$$
$$x_{5} = -22.4547961841$$
$$x_{6} = -69.578685988$$
$$x_{7} = -50.7291300664$$
$$x_{8} = -82.1450566023$$
$$x_{9} = 56.0850201556$$
$$x_{10} = 96.9257246523$$
$$x_{11} = 62.3682054628$$
$$x_{12} = -286.348579086$$
$$x_{13} = 71.7929834236$$
$$x_{14} = -100.994612524$$
$$x_{15} = 100.067317306$$
$$x_{16} = 65.5097981164$$
$$x_{17} = -72.7202786416$$
$$x_{18} = 59.2266128092$$
$$x_{19} = -25.5963888377$$
$$x_{20} = -3.60524026259$$
$$x_{21} = -41.3043521057$$
$$x_{22} = 37.2354642341$$
$$x_{23} = 52.943427502$$
$$x_{24} = 34.0938715805$$
$$x_{25} = 24.6690936197$$
$$x_{26} = -13.0300182234$$
$$x_{27} = -97.8530198703$$
$$x_{28} = -35.0211667985$$
$$x_{29} = -88.4282419095$$
$$x_{30} = -6.74683291618$$
$$x_{31} = 2.67794504459$$
$$x_{32} = -0.463647609001$$
$$x_{33} = 30.9522789269$$
$$x_{34} = -38.1627594521$$
$$x_{35} = 84.3593540379$$
$$x_{36} = 49.8018348484$$
$$x_{37} = -16.1716108769$$
$$x_{38} = -75.8618712952$$
$$x_{39} = 46.6602421948$$
$$x_{40} = -79.0034639487$$
$$x_{41} = 8.96113035177$$
$$x_{42} = -9.88842556977$$
$$x_{43} = 40.3770568877$$
$$x_{44} = 93.7841319987$$
$$x_{45} = 68.65139077$$
$$x_{46} = -53.87072272$$
$$x_{47} = 78.0761687307$$
$$x_{48} = -19.3132035305$$
$$x_{49} = -66.4370933344$$
$$x_{50} = 81.2177613843$$
$$x_{51} = 5.81953769818$$
$$x_{52} = 43.5186495413$$
$$x_{53} = -31.8795741449$$
$$x_{54} = -141.835317021$$
$$x_{55} = -60.1539080272$$
$$x_{56} = 12.1027230054$$
$$x_{57} = 18.3859083125$$
$$x_{58} = 21.5275009661$$
$$x_{59} = 15.2443156589$$
$$x_{60} = -94.7114272167$$
$$x_{61} = -47.5875374128$$
$$x_{62} = 90.6425393451$$
$$x_{63} = -44.4459447593$$
$$x_{64} = 27.8106862733$$
$$x_{65} = -28.7379814913$$
$$x_{66} = -57.0123153736$$
$$x_{67} = 87.5009466915$$
$$x_{68} = 74.9345760772$$
$$x_{69} = -85.2866492559$$

Точки пересечения с осью координат Y

График пересекает ось Y, когда x равняется 0:
подставляем x = 0 в 2*sin(x) + cos(x).
$$2 \sin{\left (0 \right )} + \cos{\left (0 \right )}$$
Результат:
$$f{\left (0 \right )} = 1$$
Точка:

(0, 1)

Экстремумы функции

Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} =$$
Первая производная
$$- \sin{\left (x \right )} + 2 \cos{\left (x \right )} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = - 2 \operatorname{atan}{\left (\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{5}}{2} \right )}$$
$$x_{2} = - 2 \operatorname{atan}{\left (- \frac{\sqrt{5}}{2} + \frac{1}{2} \right )}$$
Зн. экстремумы в точках:

        /      ___\         /      /      ___\\      /      /      ___\\ 
        |1   \/ 5 |         |      |1   \/ 5 ||      |      |1   \/ 5 || 
(-2*atan|- + -----|, - 2*sin|2*atan|- + -----|| + cos|2*atan|- + -----||)
        \2     2  /         \      \2     2  //      \      \2     2  // 

        /      ___\         /      /      ___\\      /      /      ___\\ 
        |1   \/ 5 |         |      |1   \/ 5 ||      |      |1   \/ 5 || 
(-2*atan|- - -----|, - 2*sin|2*atan|- - -----|| + cos|2*atan|- - -----||)
        \2     2  /         \      \2     2  //      \      \2     2  // 

Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумы функции в точках:
$$x_{2} = - 2 \operatorname{atan}{\left (\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{5}}{2} \right )}$$
Максимумы функции в точках:
$$x_{2} = - 2 \operatorname{atan}{\left (- \frac{\sqrt{5}}{2} + \frac{1}{2} \right )}$$
Убывает на промежутках

[-2*atan(1/2 + sqrt(5)/2), -2*atan(-sqrt(5)/2 + 1/2)]

Возрастает на промежутках

(-oo, -2*atan(1/2 + sqrt(5)/2)] U [-2*atan(-sqrt(5)/2 + 1/2), oo)

Точки перегибов

Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} =$$
Вторая производная
$$- 2 \sin{\left (x \right )} + \cos{\left (x \right )} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = 2 \operatorname{atan}{\left (2 + \sqrt{5} \right )}$$
$$x_{2} = 2 \operatorname{atan}{\left (- \sqrt{5} + 2 \right )}$$

Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Вогнутая на промежутках

(-oo, 2*atan(-sqrt(5) + 2)] U [2*atan(2 + sqrt(5)), oo)

Выпуклая на промежутках

[2*atan(-sqrt(5) + 2), 2*atan(2 + sqrt(5))]

Горизонтальные асимптоты

Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(2 \sin{\left (x \right )} + \cos{\left (x \right )}\right) = \langle -3, 3\rangle$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты слева:
$$y = \langle -3, 3\rangle$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(2 \sin{\left (x \right )} + \cos{\left (x \right )}\right) = \langle -3, 3\rangle$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты справа:
$$y = \langle -3, 3\rangle$$

Наклонные асимптоты

Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции 2*sin(x) + cos(x), делённой на x при x->+oo и x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{1}{x} \left(2 \sin{\left (x \right )} + \cos{\left (x \right )}\right)\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой справа
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{1}{x} \left(2 \sin{\left (x \right )} + \cos{\left (x \right )}\right)\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой слева

Чётность и нечётность функции

Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
$$2 \sin{\left (x \right )} + \cos{\left (x \right )} = - 2 \sin{\left (x \right )} + \cos{\left (x \right )}$$
- Нет
$$2 \sin{\left (x \right )} + \cos{\left (x \right )} = - -1 \cdot 2 \sin{\left (x \right )} - \cos{\left (x \right )}$$
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной