График функции y = 2*sin(x)^(3)

Вы ввели

            3   
f(x) = 2*sin (x)

$$f{\left (x \right )} = 2 \sin^{3}{\left (x \right )}$$

Точки пересечения с осью координат X

График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
$$2 \sin^{3}{\left (x \right )} = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:

Аналитическое решение
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = \pi$$
Численное решение
$$x_{1} = -119.380533126$$
$$x_{2} = 40.8407567654$$
$$x_{3} = 59.6903382941$$
$$x_{4} = 78.5397509229$$
$$x_{5} = 15.7080378065$$
$$x_{6} = -78.5397992433$$
$$x_{7} = 65.9734548128$$
$$x_{8} = -37.699124959$$
$$x_{9} = -34.557530618$$
$$x_{10} = 37.6991880613$$
$$x_{11} = 81.6814885051$$
$$x_{12} = 97.3893978429$$
$$x_{13} = -97.3894507189$$
$$x_{14} = -94.2477138118$$
$$x_{15} = -47.123808527$$
$$x_{16} = -9.42480464039$$
$$x_{17} = 56.5486006603$$
$$x_{18} = 72.2566292958$$
$$x_{19} = 43.9823032528$$
$$x_{20} = -65.9734547037$$
$$x_{21} = 34.5574504141$$
$$x_{22} = -53.4071504072$$
$$x_{23} = -31.4160002266$$
$$x_{24} = -28.2742627706$$
$$x_{25} = -12.566394491$$
$$x_{26} = -87.9646059648$$
$$x_{27} = 21.9911516418$$
$$x_{28} = 62.8318959402$$
$$x_{29} = -50.2654130938$$
$$x_{30} = -15.7079508375$$
$$x_{31} = -15.7079741497$$
$$x_{32} = -56.54866553$$
$$x_{33} = 87.96460631$$
$$x_{34} = -72.2565634407$$
$$x_{35} = 6.28317668273$$
$$x_{36} = 75.398160986$$
$$x_{37} = -21.9911516404$$
$$x_{38} = -43.9823032313$$
$$x_{39} = 97.3893021706$$
$$x_{40} = -40.8407553984$$
$$x_{41} = -75.3983005714$$
$$x_{42} = -59.6902757443$$
$$x_{43} = -9.42485002941$$
$$x_{44} = 53.4070206378$$
$$x_{45} = -25.1326660874$$
$$x_{46} = 28.2743275366$$
$$x_{47} = -81.6814265052$$
$$x_{48} = 18.8496166426$$
$$x_{49} = 94.2477801895$$
$$x_{50} = -6.28311247067$$
$$x_{51} = 100.531002707$$
$$x_{52} = -3.14152433727$$
$$x_{53} = 50.2654784091$$
$$x_{54} = 31.4158812157$$
$$x_{55} = 12.5663001841$$
$$x_{56} = 100.530901202$$
$$x_{57} = 0$$
$$x_{58} = 84.8230340759$$
$$x_{59} = 9.42474281068$$

Точки пересечения с осью координат Y

График пересекает ось Y, когда x равняется 0:
подставляем x = 0 в 2*sin(x)^3.
$$2 \sin^{3}{\left (0 \right )}$$
Результат:
$$f{\left (0 \right )} = 0$$
Точка:

(0, 0)

Экстремумы функции

Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} =$$
Первая производная
$$6 \sin^{2}{\left (x \right )} \cos{\left (x \right )} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = \frac{\pi}{2}$$
$$x_{3} = \pi$$
$$x_{4} = \frac{3 \pi}{2}$$
Зн. экстремумы в точках:

(0, 0)

 pi    
(--, 2)
 2     

(pi, 0)

 3*pi     
(----, -2)
  2       

Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумы функции в точках:
$$x_{4} = \frac{3 \pi}{2}$$
Максимумы функции в точках:
$$x_{4} = \frac{\pi}{2}$$
Убывает на промежутках

(-oo, pi/2] U [3*pi/2, oo)

Возрастает на промежутках

[pi/2, 3*pi/2]

Точки перегибов

Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} =$$
Вторая производная
$$6 \left(- \sin^{2}{\left (x \right )} + 2 \cos^{2}{\left (x \right )}\right) \sin{\left (x \right )} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = \pi$$
$$x_{3} = - 2 \operatorname{atan}{\left (\sqrt{- \sqrt{3} + 2} \right )}$$
$$x_{4} = 2 \operatorname{atan}{\left (\sqrt{- \sqrt{3} + 2} \right )}$$
$$x_{5} = - 2 \operatorname{atan}{\left (\sqrt{\sqrt{3} + 2} \right )}$$
$$x_{6} = 2 \operatorname{atan}{\left (\sqrt{\sqrt{3} + 2} \right )}$$

Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Вогнутая на промежутках

[2*atan(sqrt(sqrt(3) + 2)), oo)

Выпуклая на промежутках

(-oo, -2*atan(sqrt(sqrt(3) + 2))]

Горизонтальные асимптоты

Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(2 \sin^{3}{\left (x \right )}\right) = \langle -2, 2\rangle$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты слева:
$$y = \langle -2, 2\rangle$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(2 \sin^{3}{\left (x \right )}\right) = \langle -2, 2\rangle$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты справа:
$$y = \langle -2, 2\rangle$$

Наклонные асимптоты

Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции 2*sin(x)^3, делённой на x при x->+oo и x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{2}{x} \sin^{3}{\left (x \right )}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой справа
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{2}{x} \sin^{3}{\left (x \right )}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой слева

Чётность и нечётность функции

Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
$$2 \sin^{3}{\left (x \right )} = - 2 \sin^{3}{\left (x \right )}$$
- Нет
$$2 \sin^{3}{\left (x \right )} = - -1 \cdot 2 \sin^{3}{\left (x \right )}$$
- Да
значит, функция
является
нечётной