График функции y = 2*x-asin(x)

Вы ввели

f(x) = 2*x - asin(x)

$$f{\left (x \right )} = 2 x - \operatorname{asin}{\left (x \right )}$$

Точки пересечения с осью координат X

График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
$$2 x - \operatorname{asin}{\left (x \right )} = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:

Численное решение
$$x_{1} = 0$$

Точки пересечения с осью координат Y

График пересекает ось Y, когда x равняется 0:
подставляем x = 0 в 2*x - asin(x).
$$0 \cdot 2 - \operatorname{asin}{\left (0 \right )}$$
Результат:
$$f{\left (0 \right )} = 0$$
Точка:

(0, 0)

Экстремумы функции

Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} =$$
Первая производная
$$2 - \frac{1}{\sqrt{- x^{2} + 1}} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = - \frac{\sqrt{3}}{2}$$
$$x_{2} = \frac{\sqrt{3}}{2}$$
Зн. экстремумы в точках:

    ___                
 -\/ 3        ___   pi 
(-------, - \/ 3  + --)
    2               3  

   ___             
 \/ 3     ___   pi 
(-----, \/ 3  - --)
   2            3  

Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумы функции в точках:
$$x_{2} = - \frac{\sqrt{3}}{2}$$
Максимумы функции в точках:
$$x_{2} = \frac{\sqrt{3}}{2}$$
Убывает на промежутках

[-sqrt(3)/2, sqrt(3)/2]

Возрастает на промежутках

(-oo, -sqrt(3)/2] U [sqrt(3)/2, oo)

Точки перегибов

Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} =$$
Вторая производная
$$- \frac{x}{\left(- x^{2} + 1\right)^{\frac{3}{2}}} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = 0$$

Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Вогнутая на промежутках

(-oo, 0]

Выпуклая на промежутках

[0, oo)

Горизонтальные асимптоты

Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(2 x - \operatorname{asin}{\left (x \right )}\right) = -\infty - \infty i$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты слева:
$$y = -\infty - \infty i$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(2 x - \operatorname{asin}{\left (x \right )}\right) = \infty + \infty i$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты справа:
$$y = \infty + \infty i$$

Наклонные асимптоты

Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции 2*x - asin(x), делённой на x при x->+oo и x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{1}{x} \left(2 x - \operatorname{asin}{\left (x \right )}\right)\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой справа

True

Возьмём предел
значит,
уравнение наклонной асимптоты справа:
$$y = x \lim_{x \to \infty}\left(\frac{1}{x} \left(2 x - \operatorname{asin}{\left (x \right )}\right)\right)$$

Чётность и нечётность функции

Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
$$2 x - \operatorname{asin}{\left (x \right )} = - 2 x + \operatorname{asin}{\left (x \right )}$$
- Нет
$$2 x - \operatorname{asin}{\left (x \right )} = - -1 \cdot 2 x - \operatorname{asin}{\left (x \right )}$$
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной