Графики функций/ Построение в 2D/ y = 2*(x-sin(x))

График функции y = 2*(x-sin(x))

Учитель очень удивится увидев твоё верное решение 😼

Примеры
v

График:

от до

Точки пересечения:

Кусочно-заданная:

{ кусочно-заданную функцию ввести здесь.

Решение

Вы ввели [src]
f(x) = 2*(x - sin(x))
f(x)=2(x−sin⁡(x))f{\left (x \right )} = 2 \left(x - \sin{\left (x \right )}\right)
График функции
1777.51780.01782.51785.01787.51790.01792.51795.01797.51800.035503650
Точки пересечения с осью координат X
График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
2(x−sin⁡(x))=02 \left(x - \sin{\left (x \right )}\right) = 0
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:

Численное решение
x1=−8.95231865768⋅10−5x_{1} = -8.95231865768 \cdot 10^{-5}
x2=−2.1240493551⋅10−5x_{2} = -2.1240493551 \cdot 10^{-5}
x3=−9.83485862207⋅10−5x_{3} = -9.83485862207 \cdot 10^{-5}
x4=−1.98408831576⋅10−5x_{4} = -1.98408831576 \cdot 10^{-5}
x5=0.000132920718925x_{5} = 0.000132920718925
x6=3.89118697646⋅10−6x_{6} = 3.89118697646 \cdot 10^{-6}
x7=−2.5212491753⋅10−5x_{7} = -2.5212491753 \cdot 10^{-5}
x8=0.000103586989847x_{8} = 0.000103586989847
x9=−0.000135184808719x_{9} = -0.000135184808719
x10=−0.000153828220061x_{10} = -0.000153828220061
x11=−3.17741918727⋅10−5x_{11} = -3.17741918727 \cdot 10^{-5}
x12=−8.65514725284⋅10−5x_{12} = -8.65514725284 \cdot 10^{-5}
x13=−1.46863857904⋅10−6x_{13} = -1.46863857904 \cdot 10^{-6}
x14=2.49127326984⋅10−5x_{14} = 2.49127326984 \cdot 10^{-5}
x15=−2.30650948881⋅10−5x_{15} = -2.30650948881 \cdot 10^{-5}
x16=0.000115526349792x_{16} = 0.000115526349792
x17=−0.000119373030238x_{17} = -0.000119373030238
x18=0.000116491909676x_{18} = 0.000116491909676
x19=−1.80175000296⋅10−5x_{19} = -1.80175000296 \cdot 10^{-5}
x20=9.87747756721⋅10−5x_{20} = 9.87747756721 \cdot 10^{-5}
x21=−1.47286646559⋅10−5x_{21} = -1.47286646559 \cdot 10^{-5}
x22=−0.000139957949205x_{22} = -0.000139957949205
x23=−0.000152751605226x_{23} = -0.000152751605226
x24=0.000137906691428x_{24} = 0.000137906691428
x25=0x_{25} = 0
x26=−0.000150650416849x_{26} = -0.000150650416849
x27=0.000147410258149x_{27} = 0.000147410258149
x28=−0.000101863601828x_{28} = -0.000101863601828
Точки пересечения с осью координат Y
График пересекает ось Y, когда x равняется 0:
подставляем x = 0 в 2*(x - sin(x)).
2(−sin⁡(0))2 \left(- \sin{\left (0 \right )}\right)
Результат:
f(0)=0f{\left (0 \right )} = 0
Точка:
(0, 0)
Экстремумы функции
Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = 0
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} =
Первая производная
−2cos⁡(x)+2=0- 2 \cos{\left (x \right )} + 2 = 0
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
x1=0x_{1} = 0
x2=2πx_{2} = 2 \pi
Зн. экстремумы в точках:
(0, 0)

(2*pi, 4*pi)


Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумов у функции нет
Максимумов у функции нет
Возрастает на всей числовой оси
Точки перегибов
Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = 0
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} =
Вторая производная
2sin⁡(x)=02 \sin{\left (x \right )} = 0
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
x1=0x_{1} = 0
x2=πx_{2} = \pi

Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Вогнутая на промежутках
[0, pi]

Выпуклая на промежутках
(-oo, 0] U [pi, oo)
Горизонтальные асимптоты
Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
lim⁡x→−∞(2(x−sin⁡(x)))=⟨−2,2⟩\lim_{x \to -\infty}\left(2 \left(x - \sin{\left (x \right )}\right)\right) = \langle -2, 2\rangle
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты слева:
y=⟨−2,2⟩y = \langle -2, 2\rangle
lim⁡x→∞(2(x−sin⁡(x)))=⟨−2,2⟩\lim_{x \to \infty}\left(2 \left(x - \sin{\left (x \right )}\right)\right) = \langle -2, 2\rangle
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты справа:
y=⟨−2,2⟩y = \langle -2, 2\rangle
Наклонные асимптоты
Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции 2*(x - sin(x)), делённой на x при x->+oo и x ->-oo
True

Возьмём предел
значит,
уравнение наклонной асимптоты слева:
y=xlim⁡x→−∞(1x(2x−2sin⁡(x)))y = x \lim_{x \to -\infty}\left(\frac{1}{x} \left(2 x - 2 \sin{\left (x \right )}\right)\right)
True

Возьмём предел
значит,
уравнение наклонной асимптоты справа:
y=xlim⁡x→∞(1x(2x−2sin⁡(x)))y = x \lim_{x \to \infty}\left(\frac{1}{x} \left(2 x - 2 \sin{\left (x \right )}\right)\right)
Чётность и нечётность функции
Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
2(x−sin⁡(x))=−2x+2sin⁡(x)2 \left(x - \sin{\left (x \right )}\right) = - 2 x + 2 \sin{\left (x \right )}
- Нет
2(x−sin⁡(x))=−−1⋅2x−2sin⁡(x)2 \left(x - \sin{\left (x \right )}\right) = - -1 \cdot 2 x - 2 \sin{\left (x \right )}
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной