График функции y = 2*x+x^(-2)

Вы ввели

             1 
f(x) = 2*x + --
              2
             x 

$$f{\left (x \right )} = 2 x + \frac{1}{x^{2}}$$

Область определения функции

Точки, в которых функция точно неопределена:
$$x_{1} = 0$$

Точки пересечения с осью координат X

График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
$$2 x + \frac{1}{x^{2}} = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:

Аналитическое решение
$$x_{1} = - \frac{2^{\frac{2}{3}}}{2}$$
Численное решение
$$x_{1} = -0.793700525984$$

Точки пересечения с осью координат Y

График пересекает ось Y, когда x равняется 0:
подставляем x = 0 в 2*x + x^(-2).
$$0 \cdot 2 + \frac{1}{0}$$
Результат:
$$f{\left (0 \right )} = \tilde{\infty}$$
зн.f не пересекает Y

Экстремумы функции

Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = $$
Первая производная
$$2 - \frac{2}{x^{3}} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = 1$$
Зн. экстремумы в точках:

(1, 3)

Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумы функции в точках:
$$x_{1} = 1$$
Максимумов у функции нет
Убывает на промежутках

[1, oo)

Возрастает на промежутках

(-oo, 1]

Точки перегибов

Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = $$
Вторая производная
$$\frac{6}{x^{4}} = 0$$
Решаем это уравнение
Решения не найдены,
возможно перегибов у функции нет

Вертикальные асимптоты

Есть:
$$x_{1} = 0$$

Горизонтальные асимптоты

Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(2 x + \frac{1}{x^{2}}\right) = -\infty$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты слева не существует
$$\lim_{x \to \infty}\left(2 x + \frac{1}{x^{2}}\right) = \infty$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты справа не существует

Наклонные асимптоты

Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции 2*x + x^(-2), делённой на x при x->+oo и x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{1}{x} \left(2 x + \frac{1}{x^{2}}\right)\right) = 2$$
Возьмём предел
значит,
уравнение наклонной асимптоты слева:
$$y = 2 x$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{1}{x} \left(2 x + \frac{1}{x^{2}}\right)\right) = 2$$
Возьмём предел
значит,
уравнение наклонной асимптоты справа:
$$y = 2 x$$

Чётность и нечётность функции

Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
$$2 x + \frac{1}{x^{2}} = - 2 x + \frac{1}{x^{2}}$$
- Нет
$$2 x + \frac{1}{x^{2}} = - -1 \cdot 2 x - \frac{1}{x^{2}}$$
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной