График функции y = 2*x*cos(x)

Вы ввели

f(x) = 2*x*cos(x)

$$f{\left (x \right )} = 2 x \cos{\left (x \right )}$$

Точки пересечения с осью координат X

График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
$$2 x \cos{\left (x \right )} = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:

Аналитическое решение
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = \frac{\pi}{2}$$
$$x_{3} = \frac{3 \pi}{2}$$
Численное решение
$$x_{1} = 114.668131856$$
$$x_{2} = 39.2699081699$$
$$x_{3} = 51.8362787842$$
$$x_{4} = 86.3937979737$$
$$x_{5} = -54.9778714378$$
$$x_{6} = -17.2787595947$$
$$x_{7} = 45.5530934771$$
$$x_{8} = 61.261056745$$
$$x_{9} = 83.2522053201$$
$$x_{10} = -70.6858347058$$
$$x_{11} = -89.5353906273$$
$$x_{12} = 92.6769832809$$
$$x_{13} = 76.9690200129$$
$$x_{14} = -32.9867228627$$
$$x_{15} = -4.71238898038$$
$$x_{16} = -48.6946861306$$
$$x_{17} = -80.1106126665$$
$$x_{18} = -42.4115008235$$
$$x_{19} = -58.1194640914$$
$$x_{20} = 1.57079632679$$
$$x_{21} = -95.8185759345$$
$$x_{22} = 17.2787595947$$
$$x_{23} = 95.8185759345$$
$$x_{24} = -36.1283155163$$
$$x_{25} = -64.4026493986$$
$$x_{26} = 36.1283155163$$
$$x_{27} = -61.261056745$$
$$x_{28} = -92.6769832809$$
$$x_{29} = 32.9867228627$$
$$x_{30} = -14.1371669412$$
$$x_{31} = 80.1106126665$$
$$x_{32} = 4.71238898038$$
$$x_{33} = 10.9955742876$$
$$x_{34} = 7.85398163397$$
$$x_{35} = 23.5619449019$$
$$x_{36} = -39.2699081699$$
$$x_{37} = 64.4026493986$$
$$x_{38} = -73.8274273594$$
$$x_{39} = 20.4203522483$$
$$x_{40} = -26.7035375555$$
$$x_{41} = -83.2522053201$$
$$x_{42} = -98.9601685881$$
$$x_{43} = 48.6946861306$$
$$x_{44} = 29.8451302091$$
$$x_{45} = 14.1371669412$$
$$x_{46} = 98.9601685881$$
$$x_{47} = -45.5530934771$$
$$x_{48} = -51.8362787842$$
$$x_{49} = -67.5442420522$$
$$x_{50} = 54.9778714378$$
$$x_{51} = 26.7035375555$$
$$x_{52} = -86.3937979737$$
$$x_{53} = -20.4203522483$$
$$x_{54} = -7.85398163397$$
$$x_{55} = -114.668131856$$
$$x_{56} = -76.9690200129$$
$$x_{57} = 89.5353906273$$
$$x_{58} = -10.9955742876$$
$$x_{59} = -1.57079632679$$
$$x_{60} = -23.5619449019$$
$$x_{61} = 73.8274273594$$
$$x_{62} = 70.6858347058$$
$$x_{63} = 0$$
$$x_{64} = 42.4115008235$$
$$x_{65} = 67.5442420522$$
$$x_{66} = 58.1194640914$$
$$x_{67} = -29.8451302091$$

Точки пересечения с осью координат Y

График пересекает ось Y, когда x равняется 0:
подставляем x = 0 в (2*x)*cos(x).
$$0 \cdot 2 \cos{\left (0 \right )}$$
Результат:
$$f{\left (0 \right )} = 0$$
Точка:

(0, 0)

Экстремумы функции

Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = $$
Первая производная
$$- 2 x \sin{\left (x \right )} + 2 \cos{\left (x \right )} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = 6.43729817917$$
$$x_{2} = -91.1171613945$$
$$x_{3} = 65.9885986985$$
$$x_{4} = -44.0050179208$$
$$x_{5} = -147.661626855$$
$$x_{6} = 56.5663442798$$
$$x_{7} = -72.2704670603$$
$$x_{8} = 50.2853663378$$
$$x_{9} = 47.1450977368$$
$$x_{10} = 91.1171613945$$
$$x_{11} = -94.258388345$$
$$x_{12} = 97.3996388791$$
$$x_{13} = -6.43729817917$$
$$x_{14} = -12.6452872239$$
$$x_{15} = 37.7256128278$$
$$x_{16} = 81.6936492356$$
$$x_{17} = 94.258388345$$
$$x_{18} = -75.4114834888$$
$$x_{19} = -65.9885986985$$
$$x_{20} = -3.42561845948$$
$$x_{21} = -116.247530304$$
$$x_{22} = 25.1724463266$$
$$x_{23} = 69.1295029739$$
$$x_{24} = -34.5864242153$$
$$x_{25} = -59.7070073053$$
$$x_{26} = -18.9024099569$$
$$x_{27} = -15.7712848748$$
$$x_{28} = 34.5864242153$$
$$x_{29} = 100.540910787$$
$$x_{30} = 53.4257904774$$
$$x_{31} = -22.0364967279$$
$$x_{32} = 62.8477631945$$
$$x_{33} = 3.42561845948$$
$$x_{34} = 28.3096428545$$
$$x_{35} = -81.6936492356$$
$$x_{36} = -47.1450977368$$
$$x_{37} = 40.8651703305$$
$$x_{38} = -9.52933440536$$
$$x_{39} = -62.8477631945$$
$$x_{40} = 72.2704670603$$
$$x_{41} = -25.1724463266$$
$$x_{42} = 44.0050179208$$
$$x_{43} = 12.6452872239$$
$$x_{44} = -100.540910787$$
$$x_{45} = -0.860333589019$$
$$x_{46} = 9.52933440536$$
$$x_{47} = -31.4477146375$$
$$x_{48} = -97.3996388791$$
$$x_{49} = -84.834788718$$
$$x_{50} = 22.0364967279$$
$$x_{51} = 84.834788718$$
$$x_{52} = 59.7070073053$$
$$x_{53} = 15.7712848748$$
$$x_{54} = -78.5525459842$$
$$x_{55} = -40.8651703305$$
$$x_{56} = -50.2853663378$$
$$x_{57} = 31.4477146375$$
$$x_{58} = -53.4257904774$$
$$x_{59} = 0.860333589019$$
$$x_{60} = -37.7256128278$$
$$x_{61} = 75.4114834888$$
$$x_{62} = -69.1295029739$$
$$x_{63} = -56.5663442798$$
$$x_{64} = 78.5525459842$$
$$x_{65} = 18.9024099569$$
$$x_{66} = -87.9759605525$$
$$x_{67} = 87.9759605525$$
$$x_{68} = -28.3096428545$$
Зн. экстремумы в точках:

(6.43729817917, 12.7220078896677)

(-91.1171613945, 182.223348899294)

(65.9885986985, -131.962045873583)

(-44.0050179208, -87.9873199582129)

(-147.661626855, 295.316481703484)

(56.5663442798, 113.115014345752)

(-72.2704670603, 144.527099196499)

(50.2853663378, 100.550852070794)

(47.1450977368, -94.2689915150839)

(91.1171613945, -182.223348899294)

(-94.258388345, -188.506168450217)

(97.3996388791, -194.789011591247)

(-6.43729817917, -12.7220078896677)

(-12.6452872239, -25.2118625957854)

(37.7256128278, 75.4247324256199)

(81.6936492356, 163.375058993049)

(94.258388345, 188.506168450217)

(-75.4114834888, -150.809708146404)

(-65.9885986985, 131.962045873583)

(-3.42561845948, 6.57674279118179)

(-116.247530304, 232.486458751974)

(25.1724463266, 50.3052136357431)

(69.1295029739, 138.244542613844)

(-34.5864242153, 69.1439534671769)

(-59.7070073053, 119.397269680532)

(-18.9024099569, -37.752027395938)

(-15.7712848748, 31.4793539242675)

(34.5864242153, -69.1439534671769)

(100.540910787, 201.071876111652)

(53.4257904774, -106.832868319792)

(-22.0364967279, 44.0276841583169)

(62.8477631945, 125.679617944309)

(3.42561845948, -6.57674279118179)

(28.3096428545, -56.5839950781887)

(-81.6936492356, -163.375058993049)

(-47.1450977368, 94.2689915150839)

(40.8651703305, -81.7058809290348)

(-9.52933440536, 18.9545885189596)

(-62.8477631945, -125.679617944309)

(72.2704670603, -144.527099196499)

(-25.1724463266, -50.3052136357431)

(44.0050179208, 87.9873199582129)

(12.6452872239, 25.2118625957854)

(-100.540910787, -201.071876111652)

(-0.860333589019, -1.12219267638209)

(9.52933440536, -18.9545885189596)

(-31.4477146375, -62.8636545570692)

(-97.3996388791, 194.789011591247)

(-84.834788718, 169.657791047314)

(22.0364967279, -44.0276841583169)

(84.834788718, -169.657791047314)

(59.7070073053, -119.397269680532)

(15.7712848748, -31.4793539242675)

(-78.5525459842, 157.092363183469)

(-40.8651703305, 81.7058809290348)

(-50.2853663378, -100.550852070794)

(31.4477146375, 62.8636545570692)

(-53.4257904774, 106.832868319792)

(0.860333589019, 1.12219267638209)

(-37.7256128278, -75.4247324256199)

(75.4114834888, 150.809708146404)

(-69.1295029739, -138.244542613844)

(-56.5663442798, -113.115014345752)

(78.5525459842, -157.092363183469)

(18.9024099569, 37.752027395938)

(-87.9759605525, -175.94055546485)

(87.9759605525, 175.94055546485)

(-28.3096428545, 56.5839950781887)

Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумы функции в точках:
$$x_{68} = 65.9885986985$$
$$x_{68} = -44.0050179208$$
$$x_{68} = 47.1450977368$$
$$x_{68} = 91.1171613945$$
$$x_{68} = -94.258388345$$
$$x_{68} = 97.3996388791$$
$$x_{68} = -6.43729817917$$
$$x_{68} = -12.6452872239$$
$$x_{68} = -75.4114834888$$
$$x_{68} = -18.9024099569$$
$$x_{68} = 34.5864242153$$
$$x_{68} = 53.4257904774$$
$$x_{68} = 3.42561845948$$
$$x_{68} = 28.3096428545$$
$$x_{68} = -81.6936492356$$
$$x_{68} = 40.8651703305$$
$$x_{68} = -62.8477631945$$
$$x_{68} = 72.2704670603$$
$$x_{68} = -25.1724463266$$
$$x_{68} = -100.540910787$$
$$x_{68} = -0.860333589019$$
$$x_{68} = 9.52933440536$$
$$x_{68} = -31.4477146375$$
$$x_{68} = 22.0364967279$$
$$x_{68} = 84.834788718$$
$$x_{68} = 59.7070073053$$
$$x_{68} = 15.7712848748$$
$$x_{68} = -50.2853663378$$
$$x_{68} = -37.7256128278$$
$$x_{68} = -69.1295029739$$
$$x_{68} = -56.5663442798$$
$$x_{68} = 78.5525459842$$
$$x_{68} = -87.9759605525$$
Максимумы функции в точках:
$$x_{68} = 6.43729817917$$
$$x_{68} = -91.1171613945$$
$$x_{68} = -147.661626855$$
$$x_{68} = 56.5663442798$$
$$x_{68} = -72.2704670603$$
$$x_{68} = 50.2853663378$$
$$x_{68} = 37.7256128278$$
$$x_{68} = 81.6936492356$$
$$x_{68} = 94.258388345$$
$$x_{68} = -65.9885986985$$
$$x_{68} = -3.42561845948$$
$$x_{68} = -116.247530304$$
$$x_{68} = 25.1724463266$$
$$x_{68} = 69.1295029739$$
$$x_{68} = -34.5864242153$$
$$x_{68} = -59.7070073053$$
$$x_{68} = -15.7712848748$$
$$x_{68} = 100.540910787$$
$$x_{68} = -22.0364967279$$
$$x_{68} = 62.8477631945$$
$$x_{68} = -47.1450977368$$
$$x_{68} = -9.52933440536$$
$$x_{68} = 44.0050179208$$
$$x_{68} = 12.6452872239$$
$$x_{68} = -97.3996388791$$
$$x_{68} = -84.834788718$$
$$x_{68} = -78.5525459842$$
$$x_{68} = -40.8651703305$$
$$x_{68} = 31.4477146375$$
$$x_{68} = -53.4257904774$$
$$x_{68} = 0.860333589019$$
$$x_{68} = 75.4114834888$$
$$x_{68} = 18.9024099569$$
$$x_{68} = 87.9759605525$$
$$x_{68} = -28.3096428545$$
Убывает на промежутках

[97.3996388791, oo)

Возрастает на промежутках

(-oo, -100.540910787]

Точки перегибов

Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = $$
Вторая производная
$$- 2 \left(x \cos{\left (x \right )} + 2 \sin{\left (x \right )}\right) = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = -92.6985552434$$
$$x_{2} = -42.4585707717$$
$$x_{3} = -2.2889297281$$
$$x_{4} = 58.1538420786$$
$$x_{5} = -23.6463238196$$
$$x_{6} = 8.09616360322$$
$$x_{7} = 39.3207281323$$
$$x_{8} = -73.8545010149$$
$$x_{9} = 20.5175229099$$
$$x_{10} = -76.9949898892$$
$$x_{11} = -36.1835330908$$
$$x_{12} = 17.3932439646$$
$$x_{13} = 70.7141100665$$
$$x_{14} = -61.2936749662$$
$$x_{15} = -11.1727058683$$
$$x_{16} = 80.1355651941$$
$$x_{17} = 2.2889297281$$
$$x_{18} = -14.2763529183$$
$$x_{19} = -26.7780870756$$
$$x_{20} = 76.9949898892$$
$$x_{21} = -89.5577188827$$
$$x_{22} = -5.0869850941$$
$$x_{23} = 83.276217165$$
$$x_{24} = 98.9803718652$$
$$x_{25} = 11.1727058683$$
$$x_{26} = -51.8748140534$$
$$x_{27} = -17.3932439646$$
$$x_{28} = 92.6985552434$$
$$x_{29} = 36.1835330908$$
$$x_{30} = 64.4336791037$$
$$x_{31} = -98.9803718652$$
$$x_{32} = 89.5577188827$$
$$x_{33} = -67.5738306709$$
$$x_{34} = -20.5175229099$$
$$x_{35} = 86.4169374541$$
$$x_{36} = -64.4336791037$$
$$x_{37} = 95.8394411412$$
$$x_{38} = 51.8748140534$$
$$x_{39} = 73.8545010149$$
$$x_{40} = -48.7357007949$$
$$x_{41} = -70.7141100665$$
$$x_{42} = 67.5738306709$$
$$x_{43} = -86.4169374541$$
$$x_{44} = 61.2936749662$$
$$x_{45} = -80.1355651941$$
$$x_{46} = 14.2763529183$$
$$x_{47} = -33.0471686947$$
$$x_{48} = -29.9118938696$$
$$x_{49} = 23.6463238196$$
$$x_{50} = 45.5969279841$$
$$x_{51} = -8.09616360322$$
$$x_{52} = -95.8394411412$$
$$x_{53} = -45.5969279841$$
$$x_{54} = -83.276217165$$
$$x_{55} = 42.4585707717$$
$$x_{56} = 26.7780870756$$
$$x_{57} = -55.0142096788$$
$$x_{58} = -39.3207281323$$
$$x_{59} = 5.0869850941$$
$$x_{60} = 48.7357007949$$
$$x_{61} = -58.1538420786$$
$$x_{62} = 0$$
$$x_{63} = 55.0142096788$$
$$x_{64} = 33.0471686947$$
$$x_{65} = 29.9118938696$$

Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Вогнутая на промежутках

[95.8394411412, oo)

Выпуклая на промежутках

(-oo, -95.8394411412]

Горизонтальные асимптоты

Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(2 x \cos{\left (x \right )}\right) = \langle -\infty, \infty\rangle$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты слева:
$$y = \langle -\infty, \infty\rangle$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(2 x \cos{\left (x \right )}\right) = \langle -\infty, \infty\rangle$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты справа:
$$y = \langle -\infty, \infty\rangle$$

Наклонные асимптоты

Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции (2*x)*cos(x), делённой на x при x->+oo и x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(2 \cos{\left (x \right )}\right) = \langle -2, 2\rangle$$
Возьмём предел
значит,
уравнение наклонной асимптоты слева:
$$y = \langle -2, 2\rangle x$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(2 \cos{\left (x \right )}\right) = \langle -2, 2\rangle$$
Возьмём предел
значит,
уравнение наклонной асимптоты справа:
$$y = \langle -2, 2\rangle x$$

Чётность и нечётность функции

Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
$$2 x \cos{\left (x \right )} = - 2 x \cos{\left (x \right )}$$
- Нет
$$2 x \cos{\left (x \right )} = - -1 \cdot 2 x \cos{\left (x \right )}$$
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной