Графики функций/ Построение в 2D/ y = 2*x*cos(x)

График функции y = 2*x*cos(x)

Учитель очень удивится увидев твоё верное решение 😼

Примеры
v

График:

от до

Точки пересечения:

Кусочно-заданная:

{ кусочно-заданную функцию ввести здесь.

Решение

Вы ввели [src]
f(x) = 2*x*cos(x)
f(x)=2xcos⁡(x)f{\left (x \right )} = 2 x \cos{\left (x \right )}
График функции
0-400-350-300-250-200-150-100-5050-20002000
Точки пересечения с осью координат X
График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
2xcos⁡(x)=02 x \cos{\left (x \right )} = 0
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:

Аналитическое решение
x1=0x_{1} = 0
x2=π2x_{2} = \frac{\pi}{2}
x3=3π2x_{3} = \frac{3 \pi}{2}
Численное решение
x1=114.668131856x_{1} = 114.668131856
x2=39.2699081699x_{2} = 39.2699081699
x3=51.8362787842x_{3} = 51.8362787842
x4=86.3937979737x_{4} = 86.3937979737
x5=−54.9778714378x_{5} = -54.9778714378
x6=−17.2787595947x_{6} = -17.2787595947
x7=45.5530934771x_{7} = 45.5530934771
x8=61.261056745x_{8} = 61.261056745
x9=83.2522053201x_{9} = 83.2522053201
x10=−70.6858347058x_{10} = -70.6858347058
x11=−89.5353906273x_{11} = -89.5353906273
x12=92.6769832809x_{12} = 92.6769832809
x13=76.9690200129x_{13} = 76.9690200129
x14=−32.9867228627x_{14} = -32.9867228627
x15=−4.71238898038x_{15} = -4.71238898038
x16=−48.6946861306x_{16} = -48.6946861306
x17=−80.1106126665x_{17} = -80.1106126665
x18=−42.4115008235x_{18} = -42.4115008235
x19=−58.1194640914x_{19} = -58.1194640914
x20=1.57079632679x_{20} = 1.57079632679
x21=−95.8185759345x_{21} = -95.8185759345
x22=17.2787595947x_{22} = 17.2787595947
x23=95.8185759345x_{23} = 95.8185759345
x24=−36.1283155163x_{24} = -36.1283155163
x25=−64.4026493986x_{25} = -64.4026493986
x26=36.1283155163x_{26} = 36.1283155163
x27=−61.261056745x_{27} = -61.261056745
x28=−92.6769832809x_{28} = -92.6769832809
x29=32.9867228627x_{29} = 32.9867228627
x30=−14.1371669412x_{30} = -14.1371669412
x31=80.1106126665x_{31} = 80.1106126665
x32=4.71238898038x_{32} = 4.71238898038
x33=10.9955742876x_{33} = 10.9955742876
x34=7.85398163397x_{34} = 7.85398163397
x35=23.5619449019x_{35} = 23.5619449019
x36=−39.2699081699x_{36} = -39.2699081699
x37=64.4026493986x_{37} = 64.4026493986
x38=−73.8274273594x_{38} = -73.8274273594
x39=20.4203522483x_{39} = 20.4203522483
x40=−26.7035375555x_{40} = -26.7035375555
x41=−83.2522053201x_{41} = -83.2522053201
x42=−98.9601685881x_{42} = -98.9601685881
x43=48.6946861306x_{43} = 48.6946861306
x44=29.8451302091x_{44} = 29.8451302091
x45=14.1371669412x_{45} = 14.1371669412
x46=98.9601685881x_{46} = 98.9601685881
x47=−45.5530934771x_{47} = -45.5530934771
x48=−51.8362787842x_{48} = -51.8362787842
x49=−67.5442420522x_{49} = -67.5442420522
x50=54.9778714378x_{50} = 54.9778714378
x51=26.7035375555x_{51} = 26.7035375555
x52=−86.3937979737x_{52} = -86.3937979737
x53=−20.4203522483x_{53} = -20.4203522483
x54=−7.85398163397x_{54} = -7.85398163397
x55=−114.668131856x_{55} = -114.668131856
x56=−76.9690200129x_{56} = -76.9690200129
x57=89.5353906273x_{57} = 89.5353906273
x58=−10.9955742876x_{58} = -10.9955742876
x59=−1.57079632679x_{59} = -1.57079632679
x60=−23.5619449019x_{60} = -23.5619449019
x61=73.8274273594x_{61} = 73.8274273594
x62=70.6858347058x_{62} = 70.6858347058
x63=0x_{63} = 0
x64=42.4115008235x_{64} = 42.4115008235
x65=67.5442420522x_{65} = 67.5442420522
x66=58.1194640914x_{66} = 58.1194640914
x67=−29.8451302091x_{67} = -29.8451302091
Точки пересечения с осью координат Y
График пересекает ось Y, когда x равняется 0:
подставляем x = 0 в (2*x)*cos(x).
0⋅2cos⁡(0)0 \cdot 2 \cos{\left (0 \right )}
Результат:
f(0)=0f{\left (0 \right )} = 0
Точка:
(0, 0)
Экстремумы функции
Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = 0
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} =
Первая производная
−2xsin⁡(x)+2cos⁡(x)=0- 2 x \sin{\left (x \right )} + 2 \cos{\left (x \right )} = 0
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
x1=6.43729817917x_{1} = 6.43729817917
x2=−91.1171613945x_{2} = -91.1171613945
x3=65.9885986985x_{3} = 65.9885986985
x4=−44.0050179208x_{4} = -44.0050179208
x5=−147.661626855x_{5} = -147.661626855
x6=56.5663442798x_{6} = 56.5663442798
x7=−72.2704670603x_{7} = -72.2704670603
x8=50.2853663378x_{8} = 50.2853663378
x9=47.1450977368x_{9} = 47.1450977368
x10=91.1171613945x_{10} = 91.1171613945
x11=−94.258388345x_{11} = -94.258388345
x12=97.3996388791x_{12} = 97.3996388791
x13=−6.43729817917x_{13} = -6.43729817917
x14=−12.6452872239x_{14} = -12.6452872239
x15=37.7256128278x_{15} = 37.7256128278
x16=81.6936492356x_{16} = 81.6936492356
x17=94.258388345x_{17} = 94.258388345
x18=−75.4114834888x_{18} = -75.4114834888
x19=−65.9885986985x_{19} = -65.9885986985
x20=−3.42561845948x_{20} = -3.42561845948
x21=−116.247530304x_{21} = -116.247530304
x22=25.1724463266x_{22} = 25.1724463266
x23=69.1295029739x_{23} = 69.1295029739
x24=−34.5864242153x_{24} = -34.5864242153
x25=−59.7070073053x_{25} = -59.7070073053
x26=−18.9024099569x_{26} = -18.9024099569
x27=−15.7712848748x_{27} = -15.7712848748
x28=34.5864242153x_{28} = 34.5864242153
x29=100.540910787x_{29} = 100.540910787
x30=53.4257904774x_{30} = 53.4257904774
x31=−22.0364967279x_{31} = -22.0364967279
x32=62.8477631945x_{32} = 62.8477631945
x33=3.42561845948x_{33} = 3.42561845948
x34=28.3096428545x_{34} = 28.3096428545
x35=−81.6936492356x_{35} = -81.6936492356
x36=−47.1450977368x_{36} = -47.1450977368
x37=40.8651703305x_{37} = 40.8651703305
x38=−9.52933440536x_{38} = -9.52933440536
x39=−62.8477631945x_{39} = -62.8477631945
x40=72.2704670603x_{40} = 72.2704670603
x41=−25.1724463266x_{41} = -25.1724463266
x42=44.0050179208x_{42} = 44.0050179208
x43=12.6452872239x_{43} = 12.6452872239
x44=−100.540910787x_{44} = -100.540910787
x45=−0.860333589019x_{45} = -0.860333589019
x46=9.52933440536x_{46} = 9.52933440536
x47=−31.4477146375x_{47} = -31.4477146375
x48=−97.3996388791x_{48} = -97.3996388791
x49=−84.834788718x_{49} = -84.834788718
x50=22.0364967279x_{50} = 22.0364967279
x51=84.834788718x_{51} = 84.834788718
x52=59.7070073053x_{52} = 59.7070073053
x53=15.7712848748x_{53} = 15.7712848748
x54=−78.5525459842x_{54} = -78.5525459842
x55=−40.8651703305x_{55} = -40.8651703305
x56=−50.2853663378x_{56} = -50.2853663378
x57=31.4477146375x_{57} = 31.4477146375
x58=−53.4257904774x_{58} = -53.4257904774
x59=0.860333589019x_{59} = 0.860333589019
x60=−37.7256128278x_{60} = -37.7256128278
x61=75.4114834888x_{61} = 75.4114834888
x62=−69.1295029739x_{62} = -69.1295029739
x63=−56.5663442798x_{63} = -56.5663442798
x64=78.5525459842x_{64} = 78.5525459842
x65=18.9024099569x_{65} = 18.9024099569
x66=−87.9759605525x_{66} = -87.9759605525
x67=87.9759605525x_{67} = 87.9759605525
x68=−28.3096428545x_{68} = -28.3096428545
Зн. экстремумы в точках:
(6.43729817917, 12.7220078896677)

(-91.1171613945, 182.223348899294)

(65.9885986985, -131.962045873583)

(-44.0050179208, -87.9873199582129)

(-147.661626855, 295.316481703484)

(56.5663442798, 113.115014345752)

(-72.2704670603, 144.527099196499)

(50.2853663378, 100.550852070794)

(47.1450977368, -94.2689915150839)

(91.1171613945, -182.223348899294)

(-94.258388345, -188.506168450217)

(97.3996388791, -194.789011591247)

(-6.43729817917, -12.7220078896677)

(-12.6452872239, -25.2118625957854)

(37.7256128278, 75.4247324256199)

(81.6936492356, 163.375058993049)

(94.258388345, 188.506168450217)

(-75.4114834888, -150.809708146404)

(-65.9885986985, 131.962045873583)

(-3.42561845948, 6.57674279118179)

(-116.247530304, 232.486458751974)

(25.1724463266, 50.3052136357431)

(69.1295029739, 138.244542613844)

(-34.5864242153, 69.1439534671769)

(-59.7070073053, 119.397269680532)

(-18.9024099569, -37.752027395938)

(-15.7712848748, 31.4793539242675)

(34.5864242153, -69.1439534671769)

(100.540910787, 201.071876111652)

(53.4257904774, -106.832868319792)

(-22.0364967279, 44.0276841583169)

(62.8477631945, 125.679617944309)

(3.42561845948, -6.57674279118179)

(28.3096428545, -56.5839950781887)

(-81.6936492356, -163.375058993049)

(-47.1450977368, 94.2689915150839)

(40.8651703305, -81.7058809290348)

(-9.52933440536, 18.9545885189596)

(-62.8477631945, -125.679617944309)

(72.2704670603, -144.527099196499)

(-25.1724463266, -50.3052136357431)

(44.0050179208, 87.9873199582129)

(12.6452872239, 25.2118625957854)

(-100.540910787, -201.071876111652)

(-0.860333589019, -1.12219267638209)

(9.52933440536, -18.9545885189596)

(-31.4477146375, -62.8636545570692)

(-97.3996388791, 194.789011591247)

(-84.834788718, 169.657791047314)

(22.0364967279, -44.0276841583169)

(84.834788718, -169.657791047314)

(59.7070073053, -119.397269680532)

(15.7712848748, -31.4793539242675)

(-78.5525459842, 157.092363183469)

(-40.8651703305, 81.7058809290348)

(-50.2853663378, -100.550852070794)

(31.4477146375, 62.8636545570692)

(-53.4257904774, 106.832868319792)

(0.860333589019, 1.12219267638209)

(-37.7256128278, -75.4247324256199)

(75.4114834888, 150.809708146404)

(-69.1295029739, -138.244542613844)

(-56.5663442798, -113.115014345752)

(78.5525459842, -157.092363183469)

(18.9024099569, 37.752027395938)

(-87.9759605525, -175.94055546485)

(87.9759605525, 175.94055546485)

(-28.3096428545, 56.5839950781887)


Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумы функции в точках:
x68=65.9885986985x_{68} = 65.9885986985
x68=−44.0050179208x_{68} = -44.0050179208
x68=47.1450977368x_{68} = 47.1450977368
x68=91.1171613945x_{68} = 91.1171613945
x68=−94.258388345x_{68} = -94.258388345
x68=97.3996388791x_{68} = 97.3996388791
x68=−6.43729817917x_{68} = -6.43729817917
x68=−12.6452872239x_{68} = -12.6452872239
x68=−75.4114834888x_{68} = -75.4114834888
x68=−18.9024099569x_{68} = -18.9024099569
x68=34.5864242153x_{68} = 34.5864242153
x68=53.4257904774x_{68} = 53.4257904774
x68=3.42561845948x_{68} = 3.42561845948
x68=28.3096428545x_{68} = 28.3096428545
x68=−81.6936492356x_{68} = -81.6936492356
x68=40.8651703305x_{68} = 40.8651703305
x68=−62.8477631945x_{68} = -62.8477631945
x68=72.2704670603x_{68} = 72.2704670603
x68=−25.1724463266x_{68} = -25.1724463266
x68=−100.540910787x_{68} = -100.540910787
x68=−0.860333589019x_{68} = -0.860333589019
x68=9.52933440536x_{68} = 9.52933440536
x68=−31.4477146375x_{68} = -31.4477146375
x68=22.0364967279x_{68} = 22.0364967279
x68=84.834788718x_{68} = 84.834788718
x68=59.7070073053x_{68} = 59.7070073053
x68=15.7712848748x_{68} = 15.7712848748
x68=−50.2853663378x_{68} = -50.2853663378
x68=−37.7256128278x_{68} = -37.7256128278
x68=−69.1295029739x_{68} = -69.1295029739
x68=−56.5663442798x_{68} = -56.5663442798
x68=78.5525459842x_{68} = 78.5525459842
x68=−87.9759605525x_{68} = -87.9759605525
Максимумы функции в точках:
x68=6.43729817917x_{68} = 6.43729817917
x68=−91.1171613945x_{68} = -91.1171613945
x68=−147.661626855x_{68} = -147.661626855
x68=56.5663442798x_{68} = 56.5663442798
x68=−72.2704670603x_{68} = -72.2704670603
x68=50.2853663378x_{68} = 50.2853663378
x68=37.7256128278x_{68} = 37.7256128278
x68=81.6936492356x_{68} = 81.6936492356
x68=94.258388345x_{68} = 94.258388345
x68=−65.9885986985x_{68} = -65.9885986985
x68=−3.42561845948x_{68} = -3.42561845948
x68=−116.247530304x_{68} = -116.247530304
x68=25.1724463266x_{68} = 25.1724463266
x68=69.1295029739x_{68} = 69.1295029739
x68=−34.5864242153x_{68} = -34.5864242153
x68=−59.7070073053x_{68} = -59.7070073053
x68=−15.7712848748x_{68} = -15.7712848748
x68=100.540910787x_{68} = 100.540910787
x68=−22.0364967279x_{68} = -22.0364967279
x68=62.8477631945x_{68} = 62.8477631945
x68=−47.1450977368x_{68} = -47.1450977368
x68=−9.52933440536x_{68} = -9.52933440536
x68=44.0050179208x_{68} = 44.0050179208
x68=12.6452872239x_{68} = 12.6452872239
x68=−97.3996388791x_{68} = -97.3996388791
x68=−84.834788718x_{68} = -84.834788718
x68=−78.5525459842x_{68} = -78.5525459842
x68=−40.8651703305x_{68} = -40.8651703305
x68=31.4477146375x_{68} = 31.4477146375
x68=−53.4257904774x_{68} = -53.4257904774
x68=0.860333589019x_{68} = 0.860333589019
x68=75.4114834888x_{68} = 75.4114834888
x68=18.9024099569x_{68} = 18.9024099569
x68=87.9759605525x_{68} = 87.9759605525
x68=−28.3096428545x_{68} = -28.3096428545
Убывает на промежутках
[97.3996388791, oo)

Возрастает на промежутках
(-oo, -100.540910787]
Точки перегибов
Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = 0
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} =
Вторая производная
−2(xcos⁡(x)+2sin⁡(x))=0- 2 \left(x \cos{\left (x \right )} + 2 \sin{\left (x \right )}\right) = 0
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
x1=−92.6985552434x_{1} = -92.6985552434
x2=−42.4585707717x_{2} = -42.4585707717
x3=−2.2889297281x_{3} = -2.2889297281
x4=58.1538420786x_{4} = 58.1538420786
x5=−23.6463238196x_{5} = -23.6463238196
x6=8.09616360322x_{6} = 8.09616360322
x7=39.3207281323x_{7} = 39.3207281323
x8=−73.8545010149x_{8} = -73.8545010149
x9=20.5175229099x_{9} = 20.5175229099
x10=−76.9949898892x_{10} = -76.9949898892
x11=−36.1835330908x_{11} = -36.1835330908
x12=17.3932439646x_{12} = 17.3932439646
x13=70.7141100665x_{13} = 70.7141100665
x14=−61.2936749662x_{14} = -61.2936749662
x15=−11.1727058683x_{15} = -11.1727058683
x16=80.1355651941x_{16} = 80.1355651941
x17=2.2889297281x_{17} = 2.2889297281
x18=−14.2763529183x_{18} = -14.2763529183
x19=−26.7780870756x_{19} = -26.7780870756
x20=76.9949898892x_{20} = 76.9949898892
x21=−89.5577188827x_{21} = -89.5577188827
x22=−5.0869850941x_{22} = -5.0869850941
x23=83.276217165x_{23} = 83.276217165
x24=98.9803718652x_{24} = 98.9803718652
x25=11.1727058683x_{25} = 11.1727058683
x26=−51.8748140534x_{26} = -51.8748140534
x27=−17.3932439646x_{27} = -17.3932439646
x28=92.6985552434x_{28} = 92.6985552434
x29=36.1835330908x_{29} = 36.1835330908
x30=64.4336791037x_{30} = 64.4336791037
x31=−98.9803718652x_{31} = -98.9803718652
x32=89.5577188827x_{32} = 89.5577188827
x33=−67.5738306709x_{33} = -67.5738306709
x34=−20.5175229099x_{34} = -20.5175229099
x35=86.4169374541x_{35} = 86.4169374541
x36=−64.4336791037x_{36} = -64.4336791037
x37=95.8394411412x_{37} = 95.8394411412
x38=51.8748140534x_{38} = 51.8748140534
x39=73.8545010149x_{39} = 73.8545010149
x40=−48.7357007949x_{40} = -48.7357007949
x41=−70.7141100665x_{41} = -70.7141100665
x42=67.5738306709x_{42} = 67.5738306709
x43=−86.4169374541x_{43} = -86.4169374541
x44=61.2936749662x_{44} = 61.2936749662
x45=−80.1355651941x_{45} = -80.1355651941
x46=14.2763529183x_{46} = 14.2763529183
x47=−33.0471686947x_{47} = -33.0471686947
x48=−29.9118938696x_{48} = -29.9118938696
x49=23.6463238196x_{49} = 23.6463238196
x50=45.5969279841x_{50} = 45.5969279841
x51=−8.09616360322x_{51} = -8.09616360322
x52=−95.8394411412x_{52} = -95.8394411412
x53=−45.5969279841x_{53} = -45.5969279841
x54=−83.276217165x_{54} = -83.276217165
x55=42.4585707717x_{55} = 42.4585707717
x56=26.7780870756x_{56} = 26.7780870756
x57=−55.0142096788x_{57} = -55.0142096788
x58=−39.3207281323x_{58} = -39.3207281323
x59=5.0869850941x_{59} = 5.0869850941
x60=48.7357007949x_{60} = 48.7357007949
x61=−58.1538420786x_{61} = -58.1538420786
x62=0x_{62} = 0
x63=55.0142096788x_{63} = 55.0142096788
x64=33.0471686947x_{64} = 33.0471686947
x65=29.9118938696x_{65} = 29.9118938696

Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Вогнутая на промежутках
[95.8394411412, oo)

Выпуклая на промежутках
(-oo, -95.8394411412]
Горизонтальные асимптоты
Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
lim⁡x→−∞(2xcos⁡(x))=⟨−∞,∞⟩\lim_{x \to -\infty}\left(2 x \cos{\left (x \right )}\right) = \langle -\infty, \infty\rangle
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты слева:
y=⟨−∞,∞⟩y = \langle -\infty, \infty\rangle
lim⁡x→∞(2xcos⁡(x))=⟨−∞,∞⟩\lim_{x \to \infty}\left(2 x \cos{\left (x \right )}\right) = \langle -\infty, \infty\rangle
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты справа:
y=⟨−∞,∞⟩y = \langle -\infty, \infty\rangle
Наклонные асимптоты
Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции (2*x)*cos(x), делённой на x при x->+oo и x ->-oo
lim⁡x→−∞(2cos⁡(x))=⟨−2,2⟩\lim_{x \to -\infty}\left(2 \cos{\left (x \right )}\right) = \langle -2, 2\rangle
Возьмём предел
значит,
уравнение наклонной асимптоты слева:
y=⟨−2,2⟩xy = \langle -2, 2\rangle x
lim⁡x→∞(2cos⁡(x))=⟨−2,2⟩\lim_{x \to \infty}\left(2 \cos{\left (x \right )}\right) = \langle -2, 2\rangle
Возьмём предел
значит,
уравнение наклонной асимптоты справа:
y=⟨−2,2⟩xy = \langle -2, 2\rangle x
Чётность и нечётность функции
Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
2xcos⁡(x)=−2xcos⁡(x)2 x \cos{\left (x \right )} = - 2 x \cos{\left (x \right )}
- Нет
2xcos⁡(x)=−−1⋅2xcos⁡(x)2 x \cos{\left (x \right )} = - -1 \cdot 2 x \cos{\left (x \right )}
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной