График функции y = 2^tan(x)

Вы ввели

        tan(x)
f(x) = 2      

$$f{\left(x \right)} = 2^{\tan{\left(x \right)}}$$

Точки пересечения с осью координат X

График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
$$2^{\tan{\left(x \right)}} = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:

Численное решение
$$x_{1} = -17.2736065659628$$
$$x_{2} = -80.0855631478699$$
$$x_{3} = -4.69243797423823$$
$$x_{4} = 36.1533738947306$$
$$x_{5} = -80.0901298645685$$
$$x_{6} = 39.2884926073468$$
$$x_{7} = 89.5596629812267$$
$$x_{8} = -20.39995803275$$
$$x_{9} = -26.6829974580402$$
$$x_{10} = 4.72228142980768$$
$$x_{11} = 83.2640549367022$$
$$x_{12} = 92.6932429752865$$
$$x_{13} = 7.86469680032286$$
$$x_{14} = 61.2788463692566$$
$$x_{15} = 67.5662499485623$$
$$x_{16} = -70.6642706380685$$
$$x_{17} = -14.1246629166962$$
$$x_{18} = -64.3787757341179$$
$$x_{19} = 61.281323599416$$
$$x_{20} = 83.2691115938597$$
$$x_{21} = -51.8129444765024$$
$$x_{22} = 23.5809445076966$$
$$x_{23} = -48.6736102850766$$
$$x_{24} = -29.8212594818284$$
$$x_{25} = 48.7073540859457$$
$$x_{26} = -95.7966420513885$$
$$x_{27} = -102.079648539334$$
$$x_{28} = -42.3893852017131$$
$$x_{29} = 17.2980613697606$$
$$x_{30} = -39.2692794059909$$
$$x_{31} = 29.8485778266712$$
$$x_{32} = 1.58997886028416$$
$$x_{33} = -73.8047295165375$$
$$x_{34} = 70.7004367421289$$
$$x_{35} = 45.5731417149897$$
$$x_{36} = 26.7139332766024$$
$$x_{37} = -92.6549735195655$$
$$x_{38} = -70.6647711245903$$
$$x_{39} = 14.1618862718162$$
$$x_{40} = -92.661722941571$$
$$x_{41} = -58.1010405018434$$
$$x_{42} = -7.82965430390267$$
$$x_{43} = -36.1125020457893$$

Точки пересечения с осью координат Y

График пересекает ось Y, когда x равняется 0:
подставляем x = 0 в 2^tan(x).
$$2^{\tan{\left(0 \right)}}$$
Результат:
$$f{\left(0 \right)} = 1$$
Точка:

(0, 1)

Экстремумы функции

Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
первая производная
$$2^{\tan{\left(x \right)}} \left(\tan^{2}{\left(x \right)} + 1\right) \log{\left(2 \right)} = 0$$
Решаем это уравнение
Решения не найдены,
возможно экстремумов у функции нет

Точки перегибов

Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
вторая производная
$$2^{\tan{\left(x \right)}} \left(\left(\tan^{2}{\left(x \right)} + 1\right) \log{\left(2 \right)} + 2 \tan{\left(x \right)}\right) \left(\tan^{2}{\left(x \right)} + 1\right) \log{\left(2 \right)} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = \operatorname{atan}{\left(\frac{-1 + \sqrt{1 - \log{\left(2 \right)}^{2}}}{\log{\left(2 \right)}} \right)}$$
$$x_{2} = - \operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{1 - \log{\left(2 \right)}^{2}} + 1}{\log{\left(2 \right)}} \right)}$$

Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Вогнутая на промежутках
$$\left(-\infty, - \operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{1 - \log{\left(2 \right)}^{2}} + 1}{\log{\left(2 \right)}} \right)}\right] \cup \left[\operatorname{atan}{\left(\frac{-1 + \sqrt{1 - \log{\left(2 \right)}^{2}}}{\log{\left(2 \right)}} \right)}, \infty\right)$$
Выпуклая на промежутках
$$\left[- \operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{1 - \log{\left(2 \right)}^{2}} + 1}{\log{\left(2 \right)}} \right)}, \operatorname{atan}{\left(\frac{-1 + \sqrt{1 - \log{\left(2 \right)}^{2}}}{\log{\left(2 \right)}} \right)}\right]$$

Горизонтальные асимптоты

Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty} 2^{\tan{\left(x \right)}} = e^{\lim_{x \to -\infty}\left(\log{\left(2 \right)} \tan{\left(x \right)}\right)}$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты слева:
$$y = e^{\lim_{x \to -\infty}\left(\log{\left(2 \right)} \tan{\left(x \right)}\right)}$$
$$\lim_{x \to \infty} 2^{\tan{\left(x \right)}} = e^{\lim_{x \to \infty}\left(\log{\left(2 \right)} \tan{\left(x \right)}\right)}$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты справа:
$$y = e^{\lim_{x \to \infty}\left(\log{\left(2 \right)} \tan{\left(x \right)}\right)}$$

Наклонные асимптоты

Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции 2^tan(x), делённой на x при x->+oo и x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{2^{\tan{\left(x \right)}}}{x}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой справа
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{2^{\tan{\left(x \right)}}}{x}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой слева

Чётность и нечётность функции

Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
$$2^{\tan{\left(x \right)}} = 2^{- \tan{\left(x \right)}}$$
- Нет
$$2^{\tan{\left(x \right)}} = - 2^{- \tan{\left(x \right)}}$$
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной

График