График функции y = 2^x/x^2

Вы ввели

        x
       2 
f(x) = --
        2
       x 

$$f{\left (x \right )} = \frac{2^{x}}{x^{2}}$$

Область определения функции

Точки, в которых функция точно неопределена:
$$x_{1} = 0$$

Точки пересечения с осью координат X

График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
$$\frac{2^{x}}{x^{2}} = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:

Численное решение
$$x_{1} = -66.1767600931$$
$$x_{2} = -100.176760093$$
$$x_{3} = -84.1767600931$$
$$x_{4} = -60.1767600931$$
$$x_{5} = -80.1767600931$$
$$x_{6} = -92.1767600931$$
$$x_{7} = -62.1767600931$$
$$x_{8} = -54.1767600931$$
$$x_{9} = -106.176760093$$
$$x_{10} = -40.1767600931$$
$$x_{11} = -128.176760093$$
$$x_{12} = -114.176760093$$
$$x_{13} = -56.1767600931$$
$$x_{14} = -116.176760093$$
$$x_{15} = -98.1767600931$$
$$x_{16} = -120.176760093$$
$$x_{17} = -50.1767600931$$
$$x_{18} = -78.1767600931$$
$$x_{19} = -126.176760093$$
$$x_{20} = -124.176760093$$
$$x_{21} = -42.1767600931$$
$$x_{22} = -44.1767600931$$
$$x_{23} = -52.1767600931$$
$$x_{24} = -96.1767600931$$
$$x_{25} = -90.1767600931$$
$$x_{26} = -110.176760093$$
$$x_{27} = -104.176760093$$
$$x_{28} = -88.1767600931$$
$$x_{29} = -102.176760093$$
$$x_{30} = -130.176760093$$
$$x_{31} = -58.1767600931$$
$$x_{32} = -74.1767600931$$
$$x_{33} = -68.1767600931$$
$$x_{34} = -64.1767600931$$
$$x_{35} = -48.1767600931$$
$$x_{36} = -118.176760093$$
$$x_{37} = -86.1767600931$$
$$x_{38} = -112.176760093$$
$$x_{39} = -72.1767600931$$
$$x_{40} = -108.176760093$$
$$x_{41} = -46.1767600931$$
$$x_{42} = -94.1767600931$$
$$x_{43} = -70.1767600931$$
$$x_{44} = -82.1767600931$$
$$x_{45} = -76.1767600931$$
$$x_{46} = -122.176760093$$

Точки пересечения с осью координат Y

График пересекает ось Y, когда x равняется 0:
подставляем x = 0 в 2^x/x^2.
$$\frac{2^{0}}{0^{2}}$$
Результат:
$$f{\left (0 \right )} = \tilde{\infty}$$
зн.f не пересекает Y

Экстремумы функции

Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = $$
Первая производная
$$\frac{2^{x}}{x^{2}} \log{\left (2 \right )} - \frac{2}{x^{3}} 2^{x} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = \frac{2}{\log{\left (2 \right )}}$$
Зн. экстремумы в точках:

            2     2 
   2     log (2)*e  
(------, ----------)
 log(2)      4      

Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумы функции в точках:
$$x_{1} = \frac{2}{\log{\left (2 \right )}}$$
Максимумов у функции нет
Убывает на промежутках

[2/log(2), oo)

Возрастает на промежутках

(-oo, 2/log(2)]

Точки перегибов

Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = $$
Вторая производная
$$\frac{2^{x}}{x^{2}} \left(\log^{2}{\left (2 \right )} - \frac{4}{x} \log{\left (2 \right )} + \frac{6}{x^{2}}\right) = 0$$
Решаем это уравнение
Решения не найдены,
возможно перегибов у функции нет

Вертикальные асимптоты

Есть:
$$x_{1} = 0$$

Горизонтальные асимптоты

Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{2^{x}}{x^{2}}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты слева:
$$y = 0$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{2^{x}}{x^{2}}\right) = \infty$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты справа не существует

Наклонные асимптоты

Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции 2^x/x^2, делённой на x при x->+oo и x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{2^{x}}{x^{3}}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой справа
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{2^{x}}{x^{3}}\right) = \infty$$
Возьмём предел
значит,
наклонной асимптоты справа не существует

Чётность и нечётность функции

Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
$$\frac{2^{x}}{x^{2}} = \frac{2^{- x}}{x^{2}}$$
- Нет
$$\frac{2^{x}}{x^{2}} = - \frac{2^{- x}}{x^{2}}$$
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной