График функции y = 2^(x-1)-3

Вы ввели

        x - 1    
f(x) = 2      - 3

$$f{\left(x \right)} = 2^{x - 1} - 3$$

Точки пересечения с осью координат X

График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
$$2^{x - 1} - 3 = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:

Аналитическое решение
$$x_{1} = \frac{\log{\left(6 \right)}}{\log{\left(2 \right)}}$$
Численное решение
$$x_{1} = 2.58496250072116$$

Точки пересечения с осью координат Y

График пересекает ось Y, когда x равняется 0:
подставляем x = 0 в 2^(x - 1*1) - 1*3.
$$\left(-1\right) 3 + 2^{\left(-1\right) 1 + 0}$$
Результат:
$$f{\left(0 \right)} = - \frac{5}{2}$$
Точка:

(0, -5/2)

Экстремумы функции

Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =$$
первая производная
$$2^{x - 1} \log{\left(2 \right)} = 0$$
Решаем это уравнение
Решения не найдены,
возможно экстремумов у функции нет

Точки перегибов

Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =$$
вторая производная
$$\frac{2^{x} \log{\left(2 \right)}^{2}}{2} = 0$$
Решаем это уравнение
Решения не найдены,
возможно перегибов у функции нет

Горизонтальные асимптоты

Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(2^{x - 1} - 3\right) = -3$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты слева:
$$y = -3$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(2^{x - 1} - 3\right) = \infty$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты справа не существует

Наклонные асимптоты

Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции 2^(x - 1*1) - 1*3, делённой на x при x->+oo и x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{2^{x - 1} - 3}{x}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой справа
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{2^{x - 1} - 3}{x}\right) = \infty$$
Возьмём предел
значит,
наклонной асимптоты справа не существует

Чётность и нечётность функции

Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
$$2^{x - 1} - 3 = 2^{- x - 1} - 3$$
- Нет
$$2^{x - 1} - 3 = 3 - 2^{- x - 1}$$
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной

График