График функции y = 2^x*cos(x)

Вы ввели

        x       
f(x) = 2 *cos(x)

$$f{\left(x \right)} = 2^{x} \cos{\left(x \right)}$$

Точки пересечения с осью координат X

График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
$$2^{x} \cos{\left(x \right)} = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:

Аналитическое решение
$$x_{1} = - \frac{\pi}{2}$$
$$x_{2} = \frac{\pi}{2}$$
Численное решение
$$x_{1} = 29.845130209103$$
$$x_{2} = 20.4203522483337$$
$$x_{3} = 36.1283155162826$$
$$x_{4} = -26.7035375555132$$
$$x_{5} = 45.553093477052$$
$$x_{6} = -39.2699081698724$$
$$x_{7} = -89.5353906273091$$
$$x_{8} = 7.85398163397448$$
$$x_{9} = 17.2787595947439$$
$$x_{10} = -73.8274273593601$$
$$x_{11} = -54.9778714378214$$
$$x_{12} = -58.1194640914112$$
$$x_{13} = -1.5707963267949$$
$$x_{14} = -14.1371669411541$$
$$x_{15} = -83.2522053201295$$
$$x_{16} = 1.5707963267949$$
$$x_{17} = -23.5619449019235$$
$$x_{18} = -98.9601685880785$$
$$x_{19} = -80.1106126665397$$
$$x_{20} = -4.71238898038469$$
$$x_{21} = 42.4115008234622$$
$$x_{22} = -61.261056745001$$
$$x_{23} = -48.6946861306418$$
$$x_{24} = -92.6769832808989$$
$$x_{25} = -64.4026493985908$$
$$x_{26} = 32.9867228626928$$
$$x_{27} = -51.8362787842316$$
$$x_{28} = -105.243353895258$$
$$x_{29} = -10.9955742875643$$
$$x_{30} = -29.845130209103$$
$$x_{31} = 14.1371669411541$$
$$x_{32} = -7.85398163397448$$
$$x_{33} = 39.2699081698724$$
$$x_{34} = -20.4203522483337$$
$$x_{35} = 4.71238898038469$$
$$x_{36} = 23.5619449019235$$
$$x_{37} = 26.7035375555132$$
$$x_{38} = -32.9867228626928$$
$$x_{39} = -67.5442420521806$$
$$x_{40} = -95.8185759344887$$
$$x_{41} = -36.1283155162826$$
$$x_{42} = -76.9690200129499$$
$$x_{43} = -42.4115008234622$$
$$x_{44} = -86.3937979737193$$
$$x_{45} = -70.6858347057703$$
$$x_{46} = -17.2787595947439$$
$$x_{47} = 10.9955742875643$$
$$x_{48} = -45.553093477052$$

Точки пересечения с осью координат Y

График пересекает ось Y, когда x равняется 0:
подставляем x = 0 в 2^x*cos(x).
$$2^{0} \cos{\left(0 \right)}$$
Результат:
$$f{\left(0 \right)} = 1$$
Точка:

(0, 1)

Экстремумы функции

Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =$$
первая производная
$$- 2^{x} \sin{\left(x \right)} + 2^{x} \log{\left(2 \right)} \cos{\left(x \right)} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = 2 \operatorname{atan}{\left(\frac{-1 + \sqrt{\log{\left(2 \right)}^{2} + 1}}{\log{\left(2 \right)}} \right)}$$
$$x_{2} = - 2 \operatorname{atan}{\left(\frac{1 + \sqrt{\log{\left(2 \right)}^{2} + 1}}{\log{\left(2 \right)}} \right)}$$
Зн. экстремумы в точках:

                                       /        _____________\                                    
                                       |       /        2    |                                    
       /        _____________\         |-1 + \/  1 + log (2) |    /      /        _____________\\ 
       |       /        2    |   2*atan|---------------------|    |      |       /        2    || 
       |-1 + \/  1 + log (2) |         \        log(2)       /    |      |-1 + \/  1 + log (2) || 
(2*atan|---------------------|, 2                             *cos|2*atan|---------------------||)
       \        log(2)       /                                    \      \        log(2)       // 

                                        /       _____________\                                   
                                        |      /        2    |                                   
        /       _____________\          |1 + \/  1 + log (2) |    /      /       _____________\\ 
        |      /        2    |   -2*atan|--------------------|    |      |      /        2    || 
        |1 + \/  1 + log (2) |          \       log(2)       /    |      |1 + \/  1 + log (2) || 
(-2*atan|--------------------|, 2                             *cos|2*atan|--------------------||)
        \       log(2)       /                                    \      \       log(2)       // 

Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумы функции в точках:
$$x_{1} = - 2 \operatorname{atan}{\left(\frac{1 + \sqrt{\log{\left(2 \right)}^{2} + 1}}{\log{\left(2 \right)}} \right)}$$
Максимумы функции в точках:
$$x_{1} = 2 \operatorname{atan}{\left(\frac{-1 + \sqrt{\log{\left(2 \right)}^{2} + 1}}{\log{\left(2 \right)}} \right)}$$
Убывает на промежутках
$$\left[- 2 \operatorname{atan}{\left(\frac{1 + \sqrt{\log{\left(2 \right)}^{2} + 1}}{\log{\left(2 \right)}} \right)}, 2 \operatorname{atan}{\left(\frac{-1 + \sqrt{\log{\left(2 \right)}^{2} + 1}}{\log{\left(2 \right)}} \right)}\right]$$
Возрастает на промежутках
$$\left(-\infty, - 2 \operatorname{atan}{\left(\frac{1 + \sqrt{\log{\left(2 \right)}^{2} + 1}}{\log{\left(2 \right)}} \right)}\right] \cup \left[2 \operatorname{atan}{\left(\frac{-1 + \sqrt{\log{\left(2 \right)}^{2} + 1}}{\log{\left(2 \right)}} \right)}, \infty\right)$$

Точки перегибов

Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =$$
вторая производная
$$2^{x} \left(- 2 \log{\left(2 \right)} \sin{\left(x \right)} - \cos{\left(x \right)} + \log{\left(2 \right)}^{2} \cos{\left(x \right)}\right) = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = 2 \operatorname{atan}{\left(\frac{-1 + \log{\left(2 \right)}}{\log{\left(2 \right)} + 1} \right)}$$
$$x_{2} = 2 \operatorname{atan}{\left(\frac{\log{\left(2 \right)} + 1}{1 - \log{\left(2 \right)}} \right)}$$

Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Вогнутая на промежутках
$$\left(-\infty, 2 \operatorname{atan}{\left(\frac{-1 + \log{\left(2 \right)}}{\log{\left(2 \right)} + 1} \right)}\right] \cup \left[2 \operatorname{atan}{\left(\frac{\log{\left(2 \right)} + 1}{1 - \log{\left(2 \right)}} \right)}, \infty\right)$$
Выпуклая на промежутках
$$\left[2 \operatorname{atan}{\left(\frac{-1 + \log{\left(2 \right)}}{\log{\left(2 \right)} + 1} \right)}, 2 \operatorname{atan}{\left(\frac{\log{\left(2 \right)} + 1}{1 - \log{\left(2 \right)}} \right)}\right]$$

Горизонтальные асимптоты

Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(2^{x} \cos{\left(x \right)}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты слева:
$$y = 0$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(2^{x} \cos{\left(x \right)}\right) = \left\langle -\infty, \infty\right\rangle$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты справа:
$$y = \left\langle -\infty, \infty\right\rangle$$

Наклонные асимптоты

Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции 2^x*cos(x), делённой на x при x->+oo и x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{2^{x} \cos{\left(x \right)}}{x}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой справа
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{2^{x} \cos{\left(x \right)}}{x}\right) = \left\langle -\infty, \infty\right\rangle$$
Возьмём предел
значит,
уравнение наклонной асимптоты справа:
$$y = \left\langle -\infty, \infty\right\rangle x$$

Чётность и нечётность функции

Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
$$2^{x} \cos{\left(x \right)} = 2^{- x} \cos{\left(x \right)}$$
- Нет
$$2^{x} \cos{\left(x \right)} = - 2^{- x} \cos{\left(x \right)}$$
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной

График