График функции y = 25/x+x+25

Вы ввели

       25         
f(x) = -- + x + 25
       x          

$$f{\left (x \right )} = x + \frac{25}{x} + 25$$

Область определения функции

Точки, в которых функция точно неопределена:
$$x_{1} = 0$$

Точки пересечения с осью координат X

График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
$$x + \frac{25}{x} + 25 = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:

Аналитическое решение
$$x_{1} = - \frac{25}{2} - \frac{5 \sqrt{21}}{2}$$
$$x_{2} = - \frac{25}{2} + \frac{5 \sqrt{21}}{2}$$
Численное решение
$$x_{1} = -1.04356076261$$
$$x_{2} = -23.9564392374$$

Точки пересечения с осью координат Y

График пересекает ось Y, когда x равняется 0:
подставляем x = 0 в 25/x + x + 25.
$$\frac{25}{0} + 25$$
Результат:
$$f{\left (0 \right )} = \tilde{\infty}$$
зн.f не пересекает Y

Экстремумы функции

Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = $$
Первая производная
$$1 - \frac{25}{x^{2}} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = -5$$
$$x_{2} = 5$$
Зн. экстремумы в точках:

(-5, 15)

(5, 35)

Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумы функции в точках:
$$x_{2} = 5$$
Максимумы функции в точках:
$$x_{2} = -5$$
Убывает на промежутках

(-oo, -5] U [5, oo)

Возрастает на промежутках

[-5, 5]

Точки перегибов

Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = $$
Вторая производная
$$\frac{50}{x^{3}} = 0$$
Решаем это уравнение
Решения не найдены,
возможно перегибов у функции нет

Вертикальные асимптоты

Есть:
$$x_{1} = 0$$

Горизонтальные асимптоты

Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(x + \frac{25}{x} + 25\right) = -\infty$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты слева не существует
$$\lim_{x \to \infty}\left(x + \frac{25}{x} + 25\right) = \infty$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты справа не существует

Наклонные асимптоты

Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции 25/x + x + 25, делённой на x при x->+oo и x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{1}{x} \left(x + \frac{25}{x} + 25\right)\right) = 1$$
Возьмём предел
значит,
уравнение наклонной асимптоты слева:
$$y = x$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{1}{x} \left(x + \frac{25}{x} + 25\right)\right) = 1$$
Возьмём предел
значит,
уравнение наклонной асимптоты справа:
$$y = x$$

Чётность и нечётность функции

Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
$$x + \frac{25}{x} + 25 = - x + 25 - \frac{25}{x}$$
- Нет
$$x + \frac{25}{x} + 25 = - -1 x - 25 - - \frac{25}{x}$$
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной