График функции y = exp(-(|x|))

Учитель очень удивится увидев твоё верное решение 😼

v

График:

от до

Точки пересечения:

Кусочно-заданная:

{ кусочно-заданную функцию ввести здесь.

Решение

Вы ввели [src]
        -|x|
f(x) = e    
f(x)=exf{\left(x \right)} = e^{- \left|{x}\right|}
График функции
02468-8-6-4-2-101002
Точки пересечения с осью координат X
График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
ex=0e^{- \left|{x}\right|} = 0
Решаем это уравнение
Решения не найдено,
может быть, что график не пересекает ось X
Точки пересечения с осью координат Y
График пересекает ось Y, когда x равняется 0:
подставляем x = 0 в exp(-|x|).
e0e^{- \left|{0}\right|}
Результат:
f(0)=1f{\left(0 \right)} = 1
Точка:
(0, 1)
Экстремумы функции
Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
первая производная
exsign(x)=0- e^{- \left|{x}\right|} \operatorname{sign}{\left(x \right)} = 0
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
x1=38.8720030830002x_{1} = -38.8720030830002
x2=91.1816620378446x_{2} = 91.1816620378446
x3=74.8720030830002x_{3} = -74.8720030830002
x4=41.1816620378446x_{4} = 41.1816620378446
x5=84.8720030830002x_{5} = -84.8720030830002
x6=32.8720030830002x_{6} = -32.8720030830002
x7=101.181662037845x_{7} = 101.181662037845
x8=82.8720030830002x_{8} = -82.8720030830002
x9=92.8720030830002x_{9} = -92.8720030830002
x10=33.1816620378446x_{10} = 33.1816620378446
x11=103.181662037845x_{11} = 103.181662037845
x12=50.8720030830002x_{12} = -50.8720030830002
x13=73.1816620378446x_{13} = 73.1816620378446
x14=43.1816620378446x_{14} = 43.1816620378446
x15=61.1816620378446x_{15} = 61.1816620378446
x16=109.181662037845x_{16} = 109.181662037845
x17=102.872003083x_{17} = -102.872003083
x18=121.181662037845x_{18} = 121.181662037845
x19=51.1816620378446x_{19} = 51.1816620378446
x20=63.1816620378446x_{20} = 63.1816620378446
x21=96.8720030830002x_{21} = -96.8720030830002
x22=87.1816620378446x_{22} = 87.1816620378446
x23=95.1816620378446x_{23} = 95.1816620378446
x24=35.1816620378446x_{24} = 35.1816620378446
x25=62.8720030830002x_{25} = -62.8720030830002
x26=111.181662037845x_{26} = 111.181662037845
x27=30.8720030830002x_{27} = -30.8720030830002
x28=67.1816620378446x_{28} = 67.1816620378446
x29=118.872003083x_{29} = -118.872003083
x30=31.1816620378446x_{30} = 31.1816620378446
x31=45.1816620378446x_{31} = 45.1816620378446
x32=69.1816620378446x_{32} = 69.1816620378446
x33=60.8720030830002x_{33} = -60.8720030830002
x34=64.8720030830002x_{34} = -64.8720030830002
x35=104.872003083x_{35} = -104.872003083
x36=39.1816620378446x_{36} = 39.1816620378446
x37=115.181662037845x_{37} = 115.181662037845
x38=68.8720030830002x_{38} = -68.8720030830002
x39=34.8720030830002x_{39} = -34.8720030830002
x40=70.8720030830002x_{40} = -70.8720030830002
x41=28.8720030830002x_{41} = -28.8720030830002
x42=88.8720030830002x_{42} = -88.8720030830002
x43=112.872003083x_{43} = -112.872003083
x44=72.8720030830002x_{44} = -72.8720030830002
x45=76.8720030830002x_{45} = -76.8720030830002
x46=55.1816620378446x_{46} = 55.1816620378446
x47=78.8720030830002x_{47} = -78.8720030830002
x48=98.8720030830002x_{48} = -98.8720030830002
x49=114.872003083x_{49} = -114.872003083
x50=56.8720030830002x_{50} = -56.8720030830002
x51=117.181662037845x_{51} = 117.181662037845
x52=57.1816620378446x_{52} = 57.1816620378446
x53=59.1816620378446x_{53} = 59.1816620378446
x54=93.1816620378446x_{54} = 93.1816620378446
x55=113.181662037845x_{55} = 113.181662037845
x56=81.1816620378446x_{56} = 81.1816620378446
x57=40.8720030830002x_{57} = -40.8720030830002
x58=52.8720030830002x_{58} = -52.8720030830002
x59=107.181662037845x_{59} = 107.181662037845
x60=44.8720030830002x_{60} = -44.8720030830002
x61=58.8720030830002x_{61} = -58.8720030830002
x62=75.1816620378446x_{62} = 75.1816620378446
x63=80.8720030830002x_{63} = -80.8720030830002
x64=37.1816620378446x_{64} = 37.1816620378446
x65=42.8720030830002x_{65} = -42.8720030830002
x66=79.1816620378446x_{66} = 79.1816620378446
x67=116.872003083x_{67} = -116.872003083
x68=83.1816620378446x_{68} = 83.1816620378446
x69=90.8720030830002x_{69} = -90.8720030830002
x70=119.181662037845x_{70} = 119.181662037845
x71=85.1816620378446x_{71} = 85.1816620378446
x72=105.181662037845x_{72} = 105.181662037845
x73=36.8720030830002x_{73} = -36.8720030830002
x74=99.1816620378446x_{74} = 99.1816620378446
x75=66.8720030830002x_{75} = -66.8720030830002
x76=48.8720030830002x_{76} = -48.8720030830002
x77=97.1816620378446x_{77} = 97.1816620378446
x78=46.8720030830002x_{78} = -46.8720030830002
x79=53.1816620378446x_{79} = 53.1816620378446
x80=120.872003083x_{80} = -120.872003083
x81=49.1816620378446x_{81} = 49.1816620378446
x82=94.8720030830002x_{82} = -94.8720030830002
x83=54.8720030830002x_{83} = -54.8720030830002
x84=0x_{84} = 0
x85=106.872003083x_{85} = -106.872003083
x86=71.1816620378446x_{86} = 71.1816620378446
x87=86.8720030830002x_{87} = -86.8720030830002
x88=47.1816620378446x_{88} = 47.1816620378446
x89=65.1816620378446x_{89} = 65.1816620378446
x90=77.1816620378446x_{90} = 77.1816620378446
x91=100.872003083x_{91} = -100.872003083
x92=108.872003083x_{92} = -108.872003083
x93=110.872003083x_{93} = -110.872003083
x94=29.1816620378446x_{94} = 29.1816620378446
x95=89.1816620378446x_{95} = 89.1816620378446
Зн. экстремумы в точках:
(-38.8720030830002, 1.31251283948241e-17)

(91.1816620378446, 2.51366458375484e-40)

(-74.8720030830002, 3.04440349616726e-33)

(41.1816620378446, 1.30326106644072e-18)

(-84.8720030830002, 1.38215704894657e-37)

(-32.8720030830002, 5.29505471276112e-15)

(101.181662037845, 1.14120195548915e-44)

(-82.8720030830002, 1.02128359721986e-36)

(-92.8720030830002, 4.63662035813597e-41)

(33.1816620378446, 3.88496648520699e-15)

(103.181662037845, 1.54444889876301e-45)

(-50.8720030830002, 8.06435760224971e-23)

(73.1816620378446, 1.65047138990943e-32)

(43.1816620378446, 1.76377205558005e-19)

(61.1816620378446, 2.68622126807743e-27)

(109.181662037845, 3.82830606955877e-48)

(-102.872003083, 2.1050223859468e-45)

(121.181662037845, 2.35219254449043e-53)

(51.1816620378446, 5.91679608785899e-23)

(63.1816620378446, 3.63540516151472e-28)

(-96.8720030830002, 8.49226641437718e-43)

(87.1816620378446, 1.37241436076848e-38)

(95.1816620378446, 4.60393728034539e-42)

(35.1816620378446, 5.25773039640236e-16)

(-62.8720030830002, 4.95491256013989e-28)

(111.181662037845, 5.18104886240179e-49)

(-30.8720030830002, 3.91254563194992e-14)

(67.1816620378446, 6.6584768152544e-30)

(-118.872003083, 2.36889061990475e-52)

(31.1816620378446, 2.870623530166e-14)

(45.1816620378446, 2.38700590706749e-20)

(69.1816620378446, 9.01126845716874e-31)

(-60.8720030830002, 3.66121268721697e-27)

(-64.8720030830002, 6.70574494739182e-29)

(-104.872003083, 2.84883800821521e-46)

(39.1816620378446, 9.62986913148269e-18)

(115.181662037845, 9.48942200286383e-51)

(-68.8720030830002, 1.22820002936382e-30)

(-34.8720030830002, 7.16607729304888e-16)

(-70.8720030830002, 1.66218798845169e-31)

(-28.8720030830002, 2.8910019164104e-13)

(-88.8720030830002, 2.53150893960239e-39)

(-112.872003083, 9.55678684704432e-50)

(-72.8720030830002, 2.24952682209605e-32)

(-76.8720030830002, 4.1201520944033e-34)

(55.1816620378446, 1.083699005235e-24)

(-78.8720030830002, 5.57601950673994e-35)

(-98.8720030830002, 1.14930328051051e-43)

(-114.872003083, 1.29337045477668e-50)

(-56.8720030830002, 1.99895439599924e-25)

(117.181662037845, 1.28425361450932e-51)

(57.1816620378446, 1.46662711816715e-25)

(59.1816620378446, 1.98486396439648e-26)

(93.1816620378446, 3.40187508404303e-41)

(113.181662037845, 7.01178715255877e-50)

(81.1816620378446, 5.5367146973693e-36)

(-40.8720030830002, 1.77629296883043e-18)

(-52.8720030830002, 1.09139212022179e-23)

(107.181662037845, 2.82875683118464e-47)

(-44.8720030830002, 3.25339405776957e-20)

(-58.8720030830002, 2.70529059359629e-26)

(75.1816620378446, 2.23367013027319e-33)

(-80.8720030830002, 7.54632179277527e-36)

(37.1816620378446, 7.11556432378861e-17)

(-42.8720030830002, 2.40395112047869e-19)

(79.1816620378446, 4.09110955026356e-35)

(-116.872003083, 1.75038656827068e-51)

(83.1816620378446, 7.4931285176879e-37)

(-90.8720030830002, 3.42602479357106e-40)

(119.181662037845, 1.73804826667262e-52)

(85.1816620378446, 1.01408467026963e-37)

(105.181662037845, 2.09018429158566e-46)

(-36.8720030830002, 9.69823100150228e-17)

(99.1816620378446, 8.43240526931871e-44)

(-66.8720030830002, 9.07523891767756e-30)

(-48.8720030830002, 5.95879907248609e-22)

(97.1816620378446, 6.23075155839144e-43)

(-46.8720030830002, 4.40299006288557e-21)

(53.1816620378446, 8.00751274403678e-24)

(-120.872003083, 3.20594483001365e-53)

(49.1816620378446, 4.37195382191235e-22)

(-94.8720030830002, 6.27498329428976e-42)

(-54.8720030830002, 1.47703861712424e-24)

(0, 1)

(-106.872003083, 3.85548298737033e-47)

(71.1816620378446, 1.21954256897208e-31)

(-86.8720030830002, 1.87054615696665e-38)

(47.1816620378446, 3.23046120520446e-21)

(65.1816620378446, 4.91998587213439e-29)

(77.1816620378446, 3.02294379737684e-34)

(-100.872003083, 1.55541284992658e-44)

(-108.872003083, 5.21782882109705e-48)

(-110.872003083, 7.06156341383331e-49)

(29.1816620378446, 2.12111983033069e-13)

(89.1816620378446, 1.85736086232597e-39)


Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумов у функции нет
Максимумы функции в точках:
x95=0x_{95} = 0
Убывает на промежутках
(,0]\left(-\infty, 0\right]
Возрастает на промежутках
[0,)\left[0, \infty\right)
Точки перегибов
Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
вторая производная
(2δ(x)+sign2(x))ex=0\left(- 2 \delta\left(x\right) + \operatorname{sign}^{2}{\left(x \right)}\right) e^{- \left|{x}\right|} = 0
Решаем это уравнение
Решения не найдены,
возможно перегибов у функции нет
Горизонтальные асимптоты
Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
limxex=0\lim_{x \to -\infty} e^{- \left|{x}\right|} = 0
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты слева:
y=0y = 0
limxex=0\lim_{x \to \infty} e^{- \left|{x}\right|} = 0
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты справа:
y=0y = 0
Наклонные асимптоты
Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции exp(-|x|), делённой на x при x->+oo и x ->-oo
limx(exx)=0\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{e^{- \left|{x}\right|}}{x}\right) = 0
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой справа
limx(exx)=0\lim_{x \to \infty}\left(\frac{e^{- \left|{x}\right|}}{x}\right) = 0
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой слева
Чётность и нечётность функции
Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
ex=exe^{- \left|{x}\right|} = e^{- \left|{x}\right|}
- Да
ex=exe^{- \left|{x}\right|} = - e^{- \left|{x}\right|}
- Нет
значит, функция
является
чётной
График
График функции y = exp(-(|x|)) /media/krcore-image-pods/hash/xy/e/a7/f5a58c15986a277fe75455a8463e8.png