График функции y = exp(-x)*cos(x)

Вы ввели

        -x       
f(x) = e  *cos(x)

$$f{\left(x \right)} = e^{- x} \cos{\left(x \right)}$$

Точки пересечения с осью координат X

График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
$$e^{- x} \cos{\left(x \right)} = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:

Аналитическое решение
$$x_{1} = \frac{\pi}{2}$$
$$x_{2} = \frac{3 \pi}{2}$$
Численное решение
$$x_{1} = 10.9955742875643$$
$$x_{2} = 86.3937979737193$$
$$x_{3} = 48.6946861306418$$
$$x_{4} = -1.5707963267949$$
$$x_{5} = 73.8274273593601$$
$$x_{6} = 54.9778714378214$$
$$x_{7} = 23.5619449019235$$
$$x_{8} = 7.85398163397448$$
$$x_{9} = 61.261056745001$$
$$x_{10} = -14.1371669411541$$
$$x_{11} = -17.2787595947439$$
$$x_{12} = 17.2787595947439$$
$$x_{13} = 80.1106126665397$$
$$x_{14} = 64.4026493985908$$
$$x_{15} = 20.4203522483337$$
$$x_{16} = 89.5353906273091$$
$$x_{17} = -10.9955742875643$$
$$x_{18} = 26.7035375555132$$
$$x_{19} = 1.5707963267949$$
$$x_{20} = 29.845130209103$$
$$x_{21} = 45.553093477052$$
$$x_{22} = 36.1283155162826$$
$$x_{23} = -4.71238898038469$$
$$x_{24} = 4.71238898038469$$
$$x_{25} = -7.85398163397448$$
$$x_{26} = 95.8185759344887$$
$$x_{27} = -23.5619449019235$$
$$x_{28} = 32.9867228626928$$
$$x_{29} = 70.6858347057703$$
$$x_{30} = 51.8362787842316$$
$$x_{31} = 58.1194640914112$$
$$x_{32} = -26.7035375555132$$
$$x_{33} = 39.2699081698724$$
$$x_{34} = 14.1371669411541$$
$$x_{35} = 76.9690200129499$$
$$x_{36} = -29.845130209103$$
$$x_{37} = 98.9601685880785$$
$$x_{38} = -20.4203522483337$$
$$x_{39} = 102.101761241668$$
$$x_{40} = 67.5442420521806$$
$$x_{41} = 92.6769832808989$$
$$x_{42} = 42.4115008234622$$
$$x_{43} = 83.2522053201295$$

Точки пересечения с осью координат Y

График пересекает ось Y, когда x равняется 0:
подставляем x = 0 в exp(-x)*cos(x).
$$e^{\left(-1\right) 0} \cos{\left(0 \right)}$$
Результат:
$$f{\left(0 \right)} = 1$$
Точка:

(0, 1)

Экстремумы функции

Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =$$
первая производная
$$- e^{- x} \sin{\left(x \right)} - e^{- x} \cos{\left(x \right)} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = - \frac{\pi}{4}$$
Зн. экстремумы в точках:

              pi 
              -- 
         ___  4  
 -pi   \/ 2 *e   
(----, ---------)
  4        2     

Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумов у функции нет
Максимумы функции в точках:
$$x_{1} = - \frac{\pi}{4}$$
Убывает на промежутках
$$\left(-\infty, - \frac{\pi}{4}\right]$$
Возрастает на промежутках
$$\left[- \frac{\pi}{4}, \infty\right)$$

Точки перегибов

Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =$$
вторая производная
$$2 e^{- x} \sin{\left(x \right)} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = \pi$$

Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Вогнутая на промежутках
$$\left[0, \pi\right]$$
Выпуклая на промежутках
$$\left(-\infty, 0\right] \cup \left[\pi, \infty\right)$$

Горизонтальные асимптоты

Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(e^{- x} \cos{\left(x \right)}\right) = \left\langle -\infty, \infty\right\rangle$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты слева:
$$y = \left\langle -\infty, \infty\right\rangle$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(e^{- x} \cos{\left(x \right)}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты справа:
$$y = 0$$

Наклонные асимптоты

Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции exp(-x)*cos(x), делённой на x при x->+oo и x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{e^{- x} \cos{\left(x \right)}}{x}\right) = \left\langle -\infty, \infty\right\rangle$$
Возьмём предел
значит,
уравнение наклонной асимптоты слева:
$$y = \left\langle -\infty, \infty\right\rangle$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{e^{- x} \cos{\left(x \right)}}{x}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой слева

Чётность и нечётность функции

Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
$$e^{- x} \cos{\left(x \right)} = e^{x} \cos{\left(x \right)}$$
- Нет
$$e^{- x} \cos{\left(x \right)} = - e^{x} \cos{\left(x \right)}$$
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной

График