График функции y = exp(sin(x))

Вы ввели

        sin(x)
f(x) = e      

$$f{\left (x \right )} = e^{\sin{\left (x \right )}}$$

Точки пересечения с осью координат X

График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
$$e^{\sin{\left (x \right )}} = 0$$
Решаем это уравнение
Решения не найдено,
может быть, что график не пересекает ось X

Точки пересечения с осью координат Y

График пересекает ось Y, когда x равняется 0:
подставляем x = 0 в exp(sin(x)).
$$e^{\sin{\left (0 \right )}}$$
Результат:
$$f{\left (0 \right )} = 1$$
Точка:

(0, 1)

Экстремумы функции

Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = $$
Первая производная
$$e^{\sin{\left (x \right )}} \cos{\left (x \right )} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = \frac{\pi}{2}$$
$$x_{2} = \frac{3 \pi}{2}$$
Зн. экстремумы в точках:

 pi    
(--, E)
 2     

 3*pi   -1 
(----, e  )
  2        

Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумы функции в точках:
$$x_{2} = \frac{3 \pi}{2}$$
Максимумы функции в точках:
$$x_{2} = \frac{\pi}{2}$$
Убывает на промежутках

(-oo, pi/2] U [3*pi/2, oo)

Возрастает на промежутках

[pi/2, 3*pi/2]

Точки перегибов

Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = $$
Вторая производная
$$\left(- \sin{\left (x \right )} + \cos^{2}{\left (x \right )}\right) e^{\sin{\left (x \right )}} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = 2 \operatorname{atan}{\left (\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{5}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \sqrt{1 + \sqrt{5}} \right )}$$
$$x_{2} = 2 \operatorname{atan}{\left (- \frac{\sqrt{2}}{2} \sqrt{1 + \sqrt{5}} + \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{5}}{2} \right )}$$

Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Вогнутая на промежутках

(-oo, 2*atan(-sqrt(2)*sqrt(1 + sqrt(5))/2 + 1/2 + sqrt(5)/2)] U [2*atan(1/2 + sqrt(5)/2 + sqrt(2)*sqrt(1 + sqrt(5))/2), oo)

Выпуклая на промежутках

[2*atan(-sqrt(2)*sqrt(1 + sqrt(5))/2 + 1/2 + sqrt(5)/2), 2*atan(1/2 + sqrt(5)/2 + sqrt(2)*sqrt(1 + sqrt(5))/2)]

Горизонтальные асимптоты

Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty} e^{\sin{\left (x \right )}} = \langle e^{-1}, e\rangle$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты слева:
$$y = \langle e^{-1}, e\rangle$$
$$\lim_{x \to \infty} e^{\sin{\left (x \right )}} = \langle e^{-1}, e\rangle$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты справа:
$$y = \langle e^{-1}, e\rangle$$

Наклонные асимптоты

Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции exp(sin(x)), делённой на x при x->+oo и x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{1}{x} e^{\sin{\left (x \right )}}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой справа
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{1}{x} e^{\sin{\left (x \right )}}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой слева

Чётность и нечётность функции

Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
$$e^{\sin{\left (x \right )}} = e^{- \sin{\left (x \right )}}$$
- Нет
$$e^{\sin{\left (x \right )}} = - e^{- \sin{\left (x \right )}}$$
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной