График функции y = exp(x)/(1+x)

Вы ввели

          x 
         e  
f(x) = -----
       1 + x

$$f{\left (x \right )} = \frac{e^{x}}{x + 1}$$

Область определения функции

Точки, в которых функция точно неопределена:
$$x_{1} = -1$$

Точки пересечения с осью координат X

График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
$$\frac{e^{x}}{x + 1} = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:

Численное решение
$$x_{1} = -32.872003083$$
$$x_{2} = -70.872003083$$
$$x_{3} = -100.872003083$$
$$x_{4} = -114.872003083$$
$$x_{5} = -110.872003083$$
$$x_{6} = -44.872003083$$
$$x_{7} = -118.872003083$$
$$x_{8} = -98.872003083$$
$$x_{9} = -96.872003083$$
$$x_{10} = -28.872003083$$
$$x_{11} = -50.872003083$$
$$x_{12} = -40.872003083$$
$$x_{13} = -86.872003083$$
$$x_{14} = -106.872003083$$
$$x_{15} = -116.872003083$$
$$x_{16} = -48.872003083$$
$$x_{17} = -104.872003083$$
$$x_{18} = -88.872003083$$
$$x_{19} = -94.872003083$$
$$x_{20} = -68.872003083$$
$$x_{21} = -42.872003083$$
$$x_{22} = -102.872003083$$
$$x_{23} = -36.872003083$$
$$x_{24} = -46.872003083$$
$$x_{25} = -58.872003083$$
$$x_{26} = -34.872003083$$
$$x_{27} = -72.872003083$$
$$x_{28} = -108.872003083$$
$$x_{29} = -66.872003083$$
$$x_{30} = -64.872003083$$
$$x_{31} = -84.872003083$$
$$x_{32} = -90.872003083$$
$$x_{33} = -38.872003083$$
$$x_{34} = -62.872003083$$
$$x_{35} = -92.872003083$$
$$x_{36} = -120.872003083$$
$$x_{37} = -112.872003083$$
$$x_{38} = -82.872003083$$
$$x_{39} = -78.872003083$$
$$x_{40} = -60.872003083$$
$$x_{41} = -30.872003083$$
$$x_{42} = -76.872003083$$
$$x_{43} = -56.872003083$$
$$x_{44} = -54.872003083$$
$$x_{45} = -74.872003083$$
$$x_{46} = -80.872003083$$
$$x_{47} = -52.872003083$$

Точки пересечения с осью координат Y

График пересекает ось Y, когда x равняется 0:
подставляем x = 0 в exp(x)/(1 + x).

 0
e 
--
1 

Результат:
$$f{\left (0 \right )} = 1$$
Точка:

(0, 1)

Экстремумы функции

Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = $$
Первая производная
$$\frac{e^{x}}{x + 1} - \frac{e^{x}}{\left(x + 1\right)^{2}} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = 0$$
Зн. экстремумы в точках:

(0, 1)

Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумы функции в точках:
$$x_{1} = 0$$
Максимумов у функции нет
Убывает на промежутках

[0, oo)

Возрастает на промежутках

(-oo, 0]

Точки перегибов

Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = $$
Вторая производная
$$\frac{e^{x}}{x + 1} \left(1 - \frac{2}{x + 1} + \frac{2}{\left(x + 1\right)^{2}}\right) = 0$$
Решаем это уравнение
Решения не найдены,
возможно перегибов у функции нет

Вертикальные асимптоты

Есть:
$$x_{1} = -1$$

Горизонтальные асимптоты

Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{e^{x}}{x + 1}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты слева:
$$y = 0$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{e^{x}}{x + 1}\right) = \infty$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты справа не существует

Наклонные асимптоты

Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции exp(x)/(1 + x), делённой на x при x->+oo и x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{e^{x}}{x \left(x + 1\right)}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой справа
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{e^{x}}{x \left(x + 1\right)}\right) = \infty$$
Возьмём предел
значит,
наклонной асимптоты справа не существует

Чётность и нечётность функции

Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
$$\frac{e^{x}}{x + 1} = \frac{e^{- x}}{- x + 1}$$
- Нет
$$\frac{e^{x}}{x + 1} = - \frac{e^{- x}}{- x + 1}$$
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной