Графики функций/ Построение в 2D/ y = exp(x)/(1+x)

График функции y = exp(x)/(1+x)

Учитель очень удивится увидев твоё верное решение 😼

Примеры
v

График:

от до

Точки пересечения:

Кусочно-заданная:

{ кусочно-заданную функцию ввести здесь.

Решение

Вы ввели [src]
          x 
         e  
f(x) = -----
       1 + x
f(x)=exx+1f{\left (x \right )} = \frac{e^{x}}{x + 1}
График функции
-1300-1200-1100-1000-900-800-700-600-500-400-300-200-100-2e-82e-8
Область определения функции
Точки, в которых функция точно неопределена:
x1=−1x_{1} = -1
Точки пересечения с осью координат X
График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
exx+1=0\frac{e^{x}}{x + 1} = 0
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:

Численное решение
x1=−32.872003083x_{1} = -32.872003083
x2=−70.872003083x_{2} = -70.872003083
x3=−100.872003083x_{3} = -100.872003083
x4=−114.872003083x_{4} = -114.872003083
x5=−110.872003083x_{5} = -110.872003083
x6=−44.872003083x_{6} = -44.872003083
x7=−118.872003083x_{7} = -118.872003083
x8=−98.872003083x_{8} = -98.872003083
x9=−96.872003083x_{9} = -96.872003083
x10=−28.872003083x_{10} = -28.872003083
x11=−50.872003083x_{11} = -50.872003083
x12=−40.872003083x_{12} = -40.872003083
x13=−86.872003083x_{13} = -86.872003083
x14=−106.872003083x_{14} = -106.872003083
x15=−116.872003083x_{15} = -116.872003083
x16=−48.872003083x_{16} = -48.872003083
x17=−104.872003083x_{17} = -104.872003083
x18=−88.872003083x_{18} = -88.872003083
x19=−94.872003083x_{19} = -94.872003083
x20=−68.872003083x_{20} = -68.872003083
x21=−42.872003083x_{21} = -42.872003083
x22=−102.872003083x_{22} = -102.872003083
x23=−36.872003083x_{23} = -36.872003083
x24=−46.872003083x_{24} = -46.872003083
x25=−58.872003083x_{25} = -58.872003083
x26=−34.872003083x_{26} = -34.872003083
x27=−72.872003083x_{27} = -72.872003083
x28=−108.872003083x_{28} = -108.872003083
x29=−66.872003083x_{29} = -66.872003083
x30=−64.872003083x_{30} = -64.872003083
x31=−84.872003083x_{31} = -84.872003083
x32=−90.872003083x_{32} = -90.872003083
x33=−38.872003083x_{33} = -38.872003083
x34=−62.872003083x_{34} = -62.872003083
x35=−92.872003083x_{35} = -92.872003083
x36=−120.872003083x_{36} = -120.872003083
x37=−112.872003083x_{37} = -112.872003083
x38=−82.872003083x_{38} = -82.872003083
x39=−78.872003083x_{39} = -78.872003083
x40=−60.872003083x_{40} = -60.872003083
x41=−30.872003083x_{41} = -30.872003083
x42=−76.872003083x_{42} = -76.872003083
x43=−56.872003083x_{43} = -56.872003083
x44=−54.872003083x_{44} = -54.872003083
x45=−74.872003083x_{45} = -74.872003083
x46=−80.872003083x_{46} = -80.872003083
x47=−52.872003083x_{47} = -52.872003083
Точки пересечения с осью координат Y
График пересекает ось Y, когда x равняется 0:
подставляем x = 0 в exp(x)/(1 + x).
 0
e 
--
1

Результат:
f(0)=1f{\left (0 \right )} = 1
Точка:
(0, 1)
Экстремумы функции
Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = 0
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} =
Первая производная
exx+1−ex(x+1)2=0\frac{e^{x}}{x + 1} - \frac{e^{x}}{\left(x + 1\right)^{2}} = 0
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
x1=0x_{1} = 0
Зн. экстремумы в точках:
(0, 1)


Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумы функции в точках:
x1=0x_{1} = 0
Максимумов у функции нет
Убывает на промежутках
[0, oo)

Возрастает на промежутках
(-oo, 0]
Точки перегибов
Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = 0
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} =
Вторая производная
exx+1(1−2x+1+2(x+1)2)=0\frac{e^{x}}{x + 1} \left(1 - \frac{2}{x + 1} + \frac{2}{\left(x + 1\right)^{2}}\right) = 0
Решаем это уравнение
Решения не найдены,
возможно перегибов у функции нет
Вертикальные асимптоты
Есть:
x1=−1x_{1} = -1
Горизонтальные асимптоты
Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
lim⁡x→−∞(exx+1)=0\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{e^{x}}{x + 1}\right) = 0
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты слева:
y=0y = 0
lim⁡x→∞(exx+1)=∞\lim_{x \to \infty}\left(\frac{e^{x}}{x + 1}\right) = \infty
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты справа не существует
Наклонные асимптоты
Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции exp(x)/(1 + x), делённой на x при x->+oo и x ->-oo
lim⁡x→−∞(exx(x+1))=0\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{e^{x}}{x \left(x + 1\right)}\right) = 0
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой справа
lim⁡x→∞(exx(x+1))=∞\lim_{x \to \infty}\left(\frac{e^{x}}{x \left(x + 1\right)}\right) = \infty
Возьмём предел
значит,
наклонной асимптоты справа не существует
Чётность и нечётность функции
Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
exx+1=e−x−x+1\frac{e^{x}}{x + 1} = \frac{e^{- x}}{- x + 1}
- Нет
exx+1=−e−x−x+1\frac{e^{x}}{x + 1} = - \frac{e^{- x}}{- x + 1}
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной