График функции y = exp(x^(1/3))

Вы ввели

        3 ___
        \/ x 
f(x) = e     

$$f{\left (x \right )} = e^{\sqrt[3]{x}}$$

Точки пересечения с осью координат X

График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
$$e^{\sqrt[3]{x}} = 0$$
Решаем это уравнение
Решения не найдено,
может быть, что график не пересекает ось X

Точки пересечения с осью координат Y

График пересекает ось Y, когда x равняется 0:
подставляем x = 0 в exp(x^(1/3)).
$$e^{\sqrt[3]{0}}$$
Результат:
$$f{\left (0 \right )} = 1$$
Точка:

(0, 1)

Экстремумы функции

Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = $$
Первая производная
$$\frac{e^{\sqrt[3]{x}}}{3 x^{\frac{2}{3}}} = 0$$
Решаем это уравнение
Решения не найдены,
возможно экстремумов у функции нет

Точки перегибов

Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = $$
Вторая производная
$$\frac{\left(1 - \frac{2}{\sqrt[3]{x}}\right) e^{\sqrt[3]{x}}}{9 x^{\frac{4}{3}}} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = 8$$

Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Вогнутая на промежутках

[8, oo)

Выпуклая на промежутках

(-oo, 8]

Горизонтальные асимптоты

Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
Предел слева не удалось вычислить
$$\lim_{x \to -\infty} e^{\sqrt[3]{x}}$$
$$\lim_{x \to \infty} e^{\sqrt[3]{x}} = \infty$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты справа не существует

Наклонные асимптоты

Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции exp(x^(1/3)), делённой на x при x->+oo и x ->-oo
Предел слева не удалось вычислить
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{e^{\sqrt[3]{x}}}{x}\right)$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{e^{\sqrt[3]{x}}}{x}\right) = \infty$$
Возьмём предел
значит,
наклонной асимптоты справа не существует

Чётность и нечётность функции

Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
$$e^{\sqrt[3]{x}} = e^{\sqrt[3]{- x}}$$
- Нет
$$e^{\sqrt[3]{x}} = - e^{\sqrt[3]{- x}}$$
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной