График функции y = e^asin(2*x)

Вы ввели

        asin(2*x)
f(x) = E         

$$f{\left (x \right )} = e^{\operatorname{asin}{\left (2 x \right )}}$$

Точки пересечения с осью координат X

График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
$$e^{\operatorname{asin}{\left (2 x \right )}} = 0$$
Решаем это уравнение
Решения не найдено,
может быть, что график не пересекает ось X

Точки пересечения с осью координат Y

График пересекает ось Y, когда x равняется 0:
подставляем x = 0 в E^asin(2*x).
$$e^{\operatorname{asin}{\left (0 \cdot 2 \right )}}$$
Результат:
$$f{\left (0 \right )} = 1$$
Точка:

(0, 1)

Экстремумы функции

Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = $$
Первая производная
$$\frac{2 e^{\operatorname{asin}{\left (2 x \right )}}}{\sqrt{- 4 x^{2} + 1}} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = 0$$
Зн. экстремумы в точках:

(0, 1)

Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумов у функции нет
Максимумов у функции нет
Возрастает на всей числовой оси

Точки перегибов

Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = $$
Вторая производная
$$4 \left(\frac{2 x}{\left(- 4 x^{2} + 1\right)^{\frac{3}{2}}} - \frac{1}{4 x^{2} - 1}\right) e^{\operatorname{asin}{\left (2 x \right )}} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = - \frac{\sqrt{2}}{4}$$
$$x_{3} = \frac{\sqrt{2}}{4}$$

Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Вогнутая на промежутках

[-sqrt(2)/4, oo)

Выпуклая на промежутках

(-oo, -sqrt(2)/4]

Горизонтальные асимптоты

Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty} e^{\operatorname{asin}{\left (2 x \right )}} = e^{\infty i}$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты слева:
$$y = e^{\infty i}$$
$$\lim_{x \to \infty} e^{\operatorname{asin}{\left (2 x \right )}} = e^{- \infty i}$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты справа:
$$y = e^{- \infty i}$$

Наклонные асимптоты

Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции E^asin(2*x), делённой на x при x->+oo и x ->-oo

True

Возьмём предел
значит,
уравнение наклонной асимптоты слева:
$$y = x \lim_{x \to -\infty}\left(\frac{1}{x} e^{\operatorname{asin}{\left (2 x \right )}}\right)$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{1}{x} e^{\operatorname{asin}{\left (2 x \right )}}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой слева

Чётность и нечётность функции

Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
$$e^{\operatorname{asin}{\left (2 x \right )}} = e^{- \operatorname{asin}{\left (2 x \right )}}$$
- Нет
$$e^{\operatorname{asin}{\left (2 x \right )}} = - e^{- \operatorname{asin}{\left (2 x \right )}}$$
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной