График функции y = e^atan(x)

Вы ввели

        atan(x)
f(x) = E       

$$f{\left (x \right )} = e^{\operatorname{atan}{\left (x \right )}}$$

Точки пересечения с осью координат X

График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
$$e^{\operatorname{atan}{\left (x \right )}} = 0$$
Решаем это уравнение
Решения не найдено,
может быть, что график не пересекает ось X

Точки пересечения с осью координат Y

График пересекает ось Y, когда x равняется 0:
подставляем x = 0 в E^atan(x).
$$e^{\operatorname{atan}{\left (0 \right )}}$$
Результат:
$$f{\left (0 \right )} = 1$$
Точка:

(0, 1)

Экстремумы функции

Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = $$
Первая производная
$$\frac{e^{\operatorname{atan}{\left (x \right )}}}{x^{2} + 1} = 0$$
Решаем это уравнение
Решения не найдены,
возможно экстремумов у функции нет

Точки перегибов

Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = $$
Вторая производная
$$\frac{e^{\operatorname{atan}{\left (x \right )}}}{\left(x^{2} + 1\right)^{2}} \left(- 2 x + 1\right) = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = \frac{1}{2}$$

Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Вогнутая на промежутках

(-oo, 1/2]

Выпуклая на промежутках

[1/2, oo)

Горизонтальные асимптоты

Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty} e^{\operatorname{atan}{\left (x \right )}} = e^{- \frac{\pi}{2}}$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты слева:
$$y = e^{- \frac{\pi}{2}}$$
$$\lim_{x \to \infty} e^{\operatorname{atan}{\left (x \right )}} = e^{\frac{\pi}{2}}$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты справа:
$$y = e^{\frac{\pi}{2}}$$

Наклонные асимптоты

Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции E^atan(x), делённой на x при x->+oo и x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{1}{x} e^{\operatorname{atan}{\left (x \right )}}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой справа
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{1}{x} e^{\operatorname{atan}{\left (x \right )}}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой слева

Чётность и нечётность функции

Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
$$e^{\operatorname{atan}{\left (x \right )}} = e^{- \operatorname{atan}{\left (x \right )}}$$
- Нет
$$e^{\operatorname{atan}{\left (x \right )}} = - e^{- \operatorname{atan}{\left (x \right )}}$$
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной