График функции y = e^-(x+1)/x

Вы ввели

        -x - 1
       E      
f(x) = -------
          x   

$$f{\left (x \right )} = \frac{1}{x} e^{- x - 1}$$

Область определения функции

Точки, в которых функция точно неопределена:
$$x_{1} = 0$$

Точки пересечения с осью координат X

График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
$$\frac{1}{x} e^{- x - 1} = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:

Численное решение
$$x_{1} = 111.181662038$$
$$x_{2} = 43.1816620378$$
$$x_{3} = 39.1816620378$$
$$x_{4} = 91.1816620378$$
$$x_{5} = 89.1816620378$$
$$x_{6} = 65.1816620378$$
$$x_{7} = 53.1816620378$$
$$x_{8} = 57.1816620378$$
$$x_{9} = 55.1816620378$$
$$x_{10} = 67.1816620378$$
$$x_{11} = 87.1816620378$$
$$x_{12} = 117.181662038$$
$$x_{13} = 69.1816620378$$
$$x_{14} = 41.1816620378$$
$$x_{15} = 83.1816620378$$
$$x_{16} = 45.1816620378$$
$$x_{17} = 113.181662038$$
$$x_{18} = 29.1816620378$$
$$x_{19} = 51.1816620378$$
$$x_{20} = 31.1816620378$$
$$x_{21} = 59.1816620378$$
$$x_{22} = 81.1816620378$$
$$x_{23} = 93.1816620378$$
$$x_{24} = 101.181662038$$
$$x_{25} = 103.181662038$$
$$x_{26} = 77.1816620378$$
$$x_{27} = 85.1816620378$$
$$x_{28} = 105.181662038$$
$$x_{29} = 71.1816620378$$
$$x_{30} = 107.181662038$$
$$x_{31} = 75.1816620378$$
$$x_{32} = 79.1816620378$$
$$x_{33} = 37.1816620378$$
$$x_{34} = 119.181662038$$
$$x_{35} = 49.1816620378$$
$$x_{36} = 27.1816620378$$
$$x_{37} = 99.1816620378$$
$$x_{38} = 47.1816620378$$
$$x_{39} = 35.1816620378$$
$$x_{40} = 109.181662038$$
$$x_{41} = 33.1816620378$$
$$x_{42} = 73.1816620378$$
$$x_{43} = 63.1816620378$$
$$x_{44} = 115.181662038$$
$$x_{45} = 97.1816620378$$
$$x_{46} = 61.1816620378$$
$$x_{47} = 95.1816620378$$
$$x_{48} = 121.181662038$$

Точки пересечения с осью координат Y

График пересекает ось Y, когда x равняется 0:
подставляем x = 0 в E^(-x - 1)/x.
$$\frac{1}{0}$$
Результат:
$$f{\left (0 \right )} = \tilde{\infty}$$
зн.f не пересекает Y

Экстремумы функции

Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = $$
Первая производная
$$- \frac{1}{x} e^{- x - 1} - \frac{1}{x^{2}} e^{- x - 1} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = -1$$
Зн. экстремумы в точках:

(-1, -1)

Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумов у функции нет
Максимумы функции в точках:
$$x_{1} = -1$$
Убывает на промежутках

(-oo, -1]

Возрастает на промежутках

[-1, oo)

Точки перегибов

Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = $$
Вторая производная
$$\frac{1}{x} \left(1 + \frac{2}{x} + \frac{2}{x^{2}}\right) e^{- x - 1} = 0$$
Решаем это уравнение
Решения не найдены,
возможно перегибов у функции нет

Вертикальные асимптоты

Есть:
$$x_{1} = 0$$

Горизонтальные асимптоты

Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{1}{x} e^{- x - 1}\right) = -\infty$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты слева не существует
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{1}{x} e^{- x - 1}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты справа:
$$y = 0$$

Наклонные асимптоты

Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции E^(-x - 1)/x, делённой на x при x->+oo и x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{1}{x^{2}} e^{- x - 1}\right) = \infty$$
Возьмём предел
значит,
наклонной асимптоты слева не существует
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{1}{x^{2}} e^{- x - 1}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой слева

Чётность и нечётность функции

Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
$$\frac{1}{x} e^{- x - 1} = - \frac{1}{x} e^{x - 1}$$
- Нет
$$\frac{1}{x} e^{- x - 1} = - \frac{1}{x} \left(-1 e^{x - 1}\right)$$
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной