График функции y = e^(-x)*sin(x)

Вы ввели

        -x       
f(x) = e  *sin(x)

$$f{\left(x \right)} = e^{- x} \sin{\left(x \right)}$$

Точки пересечения с осью координат X

График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
$$e^{- x} \sin{\left(x \right)} = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:

Аналитическое решение
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = \pi$$
Численное решение
$$x_{1} = -12.5663706143592$$
$$x_{2} = 75.398223686155$$
$$x_{3} = 3.14159265358979$$
$$x_{4} = 15.707963267949$$
$$x_{5} = 59.6902604182061$$
$$x_{6} = 40.8407044966673$$
$$x_{7} = 21.9911485751286$$
$$x_{8} = 87.9645943005142$$
$$x_{9} = 9.42477796076938$$
$$x_{10} = -34.5575191894877$$
$$x_{11} = 0$$
$$x_{12} = -21.9911485751286$$
$$x_{13} = 37.6991118430775$$
$$x_{14} = -28.2743338823081$$
$$x_{15} = -6.28318530717959$$
$$x_{16} = 43.9822971502571$$
$$x_{17} = 91.106186954104$$
$$x_{18} = 94.2477796076938$$
$$x_{19} = -31.4159265358979$$
$$x_{20} = 62.8318530717959$$
$$x_{21} = 47.1238898038469$$
$$x_{22} = 18.8495559215388$$
$$x_{23} = 56.5486677646163$$
$$x_{24} = 65.9734457253857$$
$$x_{25} = -3.14159265358979$$
$$x_{26} = 81.6814089933346$$
$$x_{27} = -18.8495559215388$$
$$x_{28} = 31.4159265358979$$
$$x_{29} = -9.42477796076938$$
$$x_{30} = -15.707963267949$$
$$x_{31} = 78.5398163397448$$
$$x_{32} = 106.814150222053$$
$$x_{33} = 84.8230016469244$$
$$x_{34} = 28.2743338823081$$
$$x_{35} = -25.1327412287183$$
$$x_{36} = 97.3893722612836$$
$$x_{37} = 69.1150383789755$$
$$x_{38} = 50.2654824574367$$
$$x_{39} = 100.530964914873$$
$$x_{40} = 34.5575191894877$$
$$x_{41} = 6.28318530717959$$
$$x_{42} = 25.1327412287183$$
$$x_{43} = 53.4070751110265$$
$$x_{44} = 12.5663706143592$$
$$x_{45} = 72.2566310325652$$

Точки пересечения с осью координат Y

График пересекает ось Y, когда x равняется 0:
подставляем x = 0 в sin(x)/E^x.
$$e^{\left(-1\right) 0} \sin{\left(0 \right)}$$
Результат:
$$f{\left(0 \right)} = 0$$
Точка:

(0, 0)

Экстремумы функции

Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
первая производная
$$- e^{- x} \sin{\left(x \right)} + e^{- x} \cos{\left(x \right)} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = \frac{\pi}{4}$$
Зн. экстремумы в точках:

            -pi  
            ---- 
       ___   4   
 pi  \/ 2 *e     
(--, -----------)
 4        2      

Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумов у функции нет
Максимумы функции в точках:
$$x_{1} = \frac{\pi}{4}$$
Убывает на промежутках
$$\left(-\infty, \frac{\pi}{4}\right]$$
Возрастает на промежутках
$$\left[\frac{\pi}{4}, \infty\right)$$

Точки перегибов

Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
вторая производная
$$- 2 e^{- x} \cos{\left(x \right)} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = \frac{\pi}{2}$$
$$x_{2} = \frac{3 \pi}{2}$$

Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Вогнутая на промежутках
$$\left[\frac{\pi}{2}, \frac{3 \pi}{2}\right]$$
Выпуклая на промежутках
$$\left(-\infty, \frac{\pi}{2}\right] \cup \left[\frac{3 \pi}{2}, \infty\right)$$

Горизонтальные асимптоты

Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(e^{- x} \sin{\left(x \right)}\right) = \left\langle -\infty, \infty\right\rangle$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты слева:
$$y = \left\langle -\infty, \infty\right\rangle$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(e^{- x} \sin{\left(x \right)}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты справа:
$$y = 0$$

Наклонные асимптоты

Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции sin(x)/E^x, делённой на x при x->+oo и x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{e^{- x} \sin{\left(x \right)}}{x}\right) = \left\langle -\infty, \infty\right\rangle$$
Возьмём предел
значит,
уравнение наклонной асимптоты слева:
$$y = \left\langle -\infty, \infty\right\rangle$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{e^{- x} \sin{\left(x \right)}}{x}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой слева

Чётность и нечётность функции

Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
$$e^{- x} \sin{\left(x \right)} = - e^{x} \sin{\left(x \right)}$$
- Нет
$$e^{- x} \sin{\left(x \right)} = e^{x} \sin{\left(x \right)}$$
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной

График