График функции y = e^(-x^(-2))

Вы ввели

        -1 
        ---
          2
         x 
f(x) = E   

$$f{\left (x \right )} = e^{- \frac{1}{x^{2}}}$$

Область определения функции

Точки, в которых функция точно неопределена:
$$x_{1} = 0$$

Точки пересечения с осью координат X

График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
$$e^{- \frac{1}{x^{2}}} = 0$$
Решаем это уравнение
Решения не найдено,
может быть, что график не пересекает ось X

Точки пересечения с осью координат Y

График пересекает ось Y, когда x равняется 0:
подставляем x = 0 в E^(-1/x^2).
$$e^{- \tilde{\infty}}$$
Результат:
$$f{\left (0 \right )} = e^{\tilde{\infty}}$$
Точка:

(0, exp(±oo))

Экстремумы функции

Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} =$$
Первая производная
$$\frac{2}{x^{3}} e^{- \frac{1}{x^{2}}} = 0$$
Решаем это уравнение
Решения не найдены,
возможно экстремумов у функции нет

Точки перегибов

Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} =$$
Вторая производная
$$\frac{2}{x^{4}} \left(-3 + \frac{2}{x^{2}}\right) e^{- \frac{1}{x^{2}}} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = - \frac{\sqrt{6}}{3}$$
$$x_{2} = \frac{\sqrt{6}}{3}$$
Также нужно подсчитать пределы y'' для аргументов, стремящихся к точкам неопределённости функции:
Точки, где есть неопределённость:
$$x_{1} = 0$$

$$\lim_{x \to 0^-}\left(\frac{2}{x^{4}} \left(-3 + \frac{2}{x^{2}}\right) e^{- \frac{1}{x^{2}}}\right) = 0$$
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{2}{x^{4}} \left(-3 + \frac{2}{x^{2}}\right) e^{- \frac{1}{x^{2}}}\right) = 0$$
- пределы равны, зн. пропускаем соотв. точку

Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Вогнутая на промежутках

[-sqrt(6)/3, sqrt(6)/3]

Выпуклая на промежутках

(-oo, -sqrt(6)/3] U [sqrt(6)/3, oo)

Вертикальные асимптоты

Есть:
$$x_{1} = 0$$

Горизонтальные асимптоты

Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty} e^{- \frac{1}{x^{2}}} = 1$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты слева:
$$y = 1$$
$$\lim_{x \to \infty} e^{- \frac{1}{x^{2}}} = 1$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты справа:
$$y = 1$$

Наклонные асимптоты

Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции E^(-1/x^2), делённой на x при x->+oo и x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{e^{- \frac{1}{x^{2}}}}{x}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой справа
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{e^{- \frac{1}{x^{2}}}}{x}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой слева

Чётность и нечётность функции

Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
$$e^{- \frac{1}{x^{2}}} = e^{- \frac{1}{x^{2}}}$$
- Да
$$e^{- \frac{1}{x^{2}}} = - e^{- \frac{1}{x^{2}}}$$
- Нет
значит, функция
является
чётной