График функции y = e^(1/x)/x

Вы ввели

       x ___
       \/ E 
f(x) = -----
         x  

$$f{\left (x \right )} = \frac{e^{\frac{1}{x}}}{x}$$

Область определения функции

Точки, в которых функция точно неопределена:
$$x_{1} = 0$$

Точки пересечения с осью координат X

График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
$$\frac{e^{\frac{1}{x}}}{x} = 0$$
Решаем это уравнение
Решения не найдено,
может быть, что график не пересекает ось X

Точки пересечения с осью координат Y

График пересекает ось Y, когда x равняется 0:
подставляем x = 0 в E^(1/x)/x.
$$\frac{1}{0}$$
Результат:
$$f{\left (0 \right )} = \tilde{\infty} e^{\tilde{\infty}}$$
Точка:

(0, ±oo*exp(±oo))

Экстремумы функции

Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = $$
Первая производная
$$- \frac{e^{\frac{1}{x}}}{x^{2}} - \frac{e^{\frac{1}{x}}}{x^{3}} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = -1$$
Зн. экстремумы в точках:

       -1 
(-1, -e  )

Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумы функции в точках:
$$x_{1} = -1$$
Максимумов у функции нет
Убывает на промежутках

[-1, oo)

Возрастает на промежутках

(-oo, -1]

Точки перегибов

Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = $$
Вторая производная
$$\frac{e^{\frac{1}{x}}}{x^{3}} \left(2 + \frac{4}{x} + \frac{1}{x^{2}}\right) = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = -1 - \frac{\sqrt{2}}{2}$$
$$x_{2} = -1 + \frac{\sqrt{2}}{2}$$
Также нужно подсчитать пределы y'' для аргументов, стремящихся к точкам неопределённости функции:
Точки, где есть неопределённость:
$$x_{1} = 0$$

$$\lim_{x \to 0^-}\left(\frac{e^{\frac{1}{x}}}{x^{3}} \left(2 + \frac{4}{x} + \frac{1}{x^{2}}\right)\right) = 0$$
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{e^{\frac{1}{x}}}{x^{3}} \left(2 + \frac{4}{x} + \frac{1}{x^{2}}\right)\right) = \infty$$
- пределы не равны, зн.
$$x_{1} = 0$$
- является точкой перегиба

Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Вогнутая на промежутках

[-1 - sqrt(2)/2, -1 + sqrt(2)/2]

Выпуклая на промежутках

(-oo, -1 - sqrt(2)/2] U [-1 + sqrt(2)/2, oo)

Вертикальные асимптоты

Есть:
$$x_{1} = 0$$

Горизонтальные асимптоты

Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{e^{\frac{1}{x}}}{x}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты слева:
$$y = 0$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{e^{\frac{1}{x}}}{x}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты справа:
$$y = 0$$

Наклонные асимптоты

Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции E^(1/x)/x, делённой на x при x->+oo и x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{e^{\frac{1}{x}}}{x^{2}}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой справа
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{e^{\frac{1}{x}}}{x^{2}}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой слева

Чётность и нечётность функции

Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
$$\frac{e^{\frac{1}{x}}}{x} = - \frac{e^{- \frac{1}{x}}}{x}$$
- Нет
$$\frac{e^{\frac{1}{x}}}{x} = - \frac{1}{x} \left(-1 e^{- \frac{1}{x}}\right)$$
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной