График функции y = e^(1/x)-1

Вы ввели

       x ___    
f(x) = \/ e  - 1

$$f{\left(x \right)} = e^{1 \cdot \frac{1}{x}} - 1$$

Область определения функции

Точки, в которых функция точно неопределена:
$$x_{1} = 0$$

Точки пересечения с осью координат X

График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
$$e^{1 \cdot \frac{1}{x}} - 1 = 0$$
Решаем это уравнение
Решения не найдено,
может быть, что график не пересекает ось X

Точки пересечения с осью координат Y

График пересекает ось Y, когда x равняется 0:
подставляем x = 0 в E^(1/x) - 1*1.
$$\left(-1\right) 1 + e^{1 \cdot \frac{1}{0}}$$
Результат:
$$f{\left(0 \right)} = \text{NaN}$$
- решений у ур-ния нет

Экстремумы функции

Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
первая производная
$$- \frac{e^{\frac{1}{x}}}{x^{2}} = 0$$
Решаем это уравнение
Решения не найдены,
возможно экстремумов у функции нет

Точки перегибов

Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
вторая производная
$$\frac{\left(2 + \frac{1}{x}\right) e^{\frac{1}{x}}}{x^{3}} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = - \frac{1}{2}$$
Также нужно подсчитать пределы y'' для аргументов, стремящихся к точкам неопределённости функции:
Точки, где есть неопределённость:
$$x_{1} = 0$$

$$\lim_{x \to 0^-}\left(\frac{\left(2 + \frac{1}{x}\right) e^{\frac{1}{x}}}{x^{3}}\right) = 0$$
Возьмём предел
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\left(2 + \frac{1}{x}\right) e^{\frac{1}{x}}}{x^{3}}\right) = \infty$$
Возьмём предел
- пределы не равны, зн.
$$x_{1} = 0$$
- является точкой перегиба

Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Вогнутая на промежутках
$$\left[- \frac{1}{2}, \infty\right)$$
Выпуклая на промежутках
$$\left(-\infty, - \frac{1}{2}\right]$$

Вертикальные асимптоты

Есть:
$$x_{1} = 0$$

Горизонтальные асимптоты

Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(e^{1 \cdot \frac{1}{x}} - 1\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты слева:
$$y = 0$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(e^{1 \cdot \frac{1}{x}} - 1\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты справа:
$$y = 0$$

Наклонные асимптоты

Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции E^(1/x) - 1*1, делённой на x при x->+oo и x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{e^{1 \cdot \frac{1}{x}} - 1}{x}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой справа
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{e^{1 \cdot \frac{1}{x}} - 1}{x}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой слева

Чётность и нечётность функции

Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
$$e^{1 \cdot \frac{1}{x}} - 1 = -1 + e^{- \frac{1}{x}}$$
- Нет
$$e^{1 \cdot \frac{1}{x}} - 1 = 1 - e^{- \frac{1}{x}}$$
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной

График