График функции y = (e^x-1)/x

Вы ввели

        x    
       e  - 1
f(x) = ------
         x   

$$f{\left(x \right)} = \frac{e^{x} - 1}{x}$$

Область определения функции

Точки, в которых функция точно неопределена:
$$x_{1} = 0$$

Точки пересечения с осью координат X

График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
$$\frac{e^{x} - 1}{x} = 0$$
Решаем это уравнение
Решения не найдено,
может быть, что график не пересекает ось X

Точки пересечения с осью координат Y

График пересекает ось Y, когда x равняется 0:
подставляем x = 0 в (E^x - 1*1)/x.
$$\frac{\left(-1\right) 1 + e^{0}}{0}$$
Результат:
$$f{\left(0 \right)} = \text{NaN}$$
- решений у ур-ния нет

Экстремумы функции

Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
первая производная
$$\frac{e^{x}}{x} - \frac{e^{x} - 1}{x^{2}} = 0$$
Решаем это уравнение
Решения не найдены,
возможно экстремумов у функции нет

Точки перегибов

Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
вторая производная
$$\frac{e^{x} - \frac{2 e^{x}}{x} + \frac{2 \left(e^{x} - 1\right)}{x^{2}}}{x} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = -29600.5915120748$$
$$x_{2} = -39771.8270548144$$
$$x_{3} = -21124.5731417223$$
$$x_{4} = -30448.1940837816$$
$$x_{5} = -36381.4142572736$$
$$x_{6} = -33838.605204445$$
$$x_{7} = -34686.2081625031$$
$$x_{8} = -24514.9784989468$$
$$x_{9} = -32991.0023120587$$
$$x_{10} = -16886.5729892827$$
$$x_{11} = -26210.1823018004$$
$$x_{12} = -18581.7718990583$$
$$x_{13} = -22819.7753899021$$
$$x_{14} = -35533.8111815333$$
$$x_{15} = -38924.2237877047$$
$$x_{16} = -37229.0173858502$$
$$x_{17} = -25362.5803223436$$
$$x_{18} = -23667.3768483792$$
$$x_{19} = -17734.1722156161$$
$$x_{20} = -14343.7788634966$$
$$x_{21} = -32143.3994905401$$
$$x_{22} = -11800.9927549711$$
$$x_{23} = -13496.1823781368$$
$$x_{24} = -12648.5869326509$$
$$x_{25} = -20276.9724079398$$
$$x_{26} = -15191.3762140647$$
$$x_{27} = -41467.0337078697$$
$$x_{28} = -40619.4303623627$$
$$x_{29} = -31295.7967456477$$
$$x_{30} = -28752.9890385016$$
$$x_{31} = -27905.3866720051$$
$$x_{32} = -42314.6370890542$$
$$x_{33} = -27057.7844226494$$
$$x_{34} = -16038.9742925428$$
$$x_{35} = -21972.1741457489$$
$$x_{36} = -19429.3719797754$$
$$x_{37} = -38076.6205637343$$
Также нужно подсчитать пределы y'' для аргументов, стремящихся к точкам неопределённости функции:
Точки, где есть неопределённость:
$$x_{1} = 0$$

$$\lim_{x \to 0^-}\left(\frac{e^{x} - \frac{2 e^{x}}{x} + \frac{2 \left(e^{x} - 1\right)}{x^{2}}}{x}\right) = \frac{1}{3}$$
Возьмём предел
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{e^{x} - \frac{2 e^{x}}{x} + \frac{2 \left(e^{x} - 1\right)}{x^{2}}}{x}\right) = \frac{1}{3}$$
Возьмём предел
- пределы равны, зн. пропускаем соотв. точку

Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Не имеет изгибов на всей числовой оси

Вертикальные асимптоты

Есть:
$$x_{1} = 0$$

Горизонтальные асимптоты

Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{e^{x} - 1}{x}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты слева:
$$y = 0$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{e^{x} - 1}{x}\right) = \infty$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты справа не существует

Наклонные асимптоты

Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции (E^x - 1*1)/x, делённой на x при x->+oo и x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{e^{x} - 1}{x^{2}}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой справа
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{e^{x} - 1}{x^{2}}\right) = \infty$$
Возьмём предел
значит,
наклонной асимптоты справа не существует

Чётность и нечётность функции

Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
$$\frac{e^{x} - 1}{x} = - \frac{-1 + e^{- x}}{x}$$
- Нет
$$\frac{e^{x} - 1}{x} = \frac{-1 + e^{- x}}{x}$$
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной

График