График функции y = e^((x+1)/x)

Вы ввели

        x + 1
        -----
          x  
f(x) = E     

$$f{\left (x \right )} = e^{\frac{1}{x} \left(x + 1\right)}$$

Область определения функции

Точки, в которых функция точно неопределена:
$$x_{1} = 0$$

Точки пересечения с осью координат X

График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
$$e^{\frac{1}{x} \left(x + 1\right)} = 0$$
Решаем это уравнение
Решения не найдено,
может быть, что график не пересекает ось X

Точки пересечения с осью координат Y

График пересекает ось Y, когда x равняется 0:
подставляем x = 0 в E^((x + 1)/x).
$$e^{\frac{1}{0}}$$
Результат:
$$f{\left (0 \right )} = e^{\tilde{\infty}}$$
Точка:

(0, exp(±oo))

Экстремумы функции

Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = $$
Первая производная
$$\left(\frac{1}{x} - \frac{1}{x^{2}} \left(x + 1\right)\right) e^{\frac{1}{x} \left(x + 1\right)} = 0$$
Решаем это уравнение
Решения не найдены,
возможно экстремумов у функции нет

Точки перегибов

Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = $$
Вторая производная
$$\frac{1}{x^{2}} \left(-1 - \frac{1}{x} \left(x + 1\right)\right) \left(1 - \frac{1}{x} \left(x + 1\right)\right) e^{\frac{1}{x} \left(x + 1\right)} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = - \frac{1}{2}$$
Также нужно подсчитать пределы y'' для аргументов, стремящихся к точкам неопределённости функции:
Точки, где есть неопределённость:
$$x_{1} = 0$$

$$\lim_{x \to 0^-}\left(\frac{1}{x^{2}} \left(-1 - \frac{1}{x} \left(x + 1\right)\right) \left(1 - \frac{1}{x} \left(x + 1\right)\right) e^{\frac{1}{x} \left(x + 1\right)}\right) = 0$$
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{1}{x^{2}} \left(-1 - \frac{1}{x} \left(x + 1\right)\right) \left(1 - \frac{1}{x} \left(x + 1\right)\right) e^{\frac{1}{x} \left(x + 1\right)}\right) = \infty$$
- пределы не равны, зн.
$$x_{1} = 0$$
- является точкой перегиба

Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Вогнутая на промежутках

[-1/2, oo)

Выпуклая на промежутках

(-oo, -1/2]

Вертикальные асимптоты

Есть:
$$x_{1} = 0$$

Горизонтальные асимптоты

Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty} e^{\frac{1}{x} \left(x + 1\right)} = e$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты слева:
$$y = e$$
$$\lim_{x \to \infty} e^{\frac{1}{x} \left(x + 1\right)} = e$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты справа:
$$y = e$$

Наклонные асимптоты

Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции E^((x + 1)/x), делённой на x при x->+oo и x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{1}{x} e^{\frac{1}{x} \left(x + 1\right)}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой справа
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{1}{x} e^{\frac{1}{x} \left(x + 1\right)}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой слева

Чётность и нечётность функции

Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
$$e^{\frac{1}{x} \left(x + 1\right)} = e^{- \frac{1}{x} \left(- x + 1\right)}$$
- Нет
$$e^{\frac{1}{x} \left(x + 1\right)} = - e^{- \frac{1}{x} \left(- x + 1\right)}$$
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной