График функции y = e^(x+1/x)

Вы ввели

            1
        x + -
            x
f(x) = E     

$$f{\left (x \right )} = e^{x + \frac{1}{x}}$$

Область определения функции

Точки, в которых функция точно неопределена:
$$x_{1} = 0$$

Точки пересечения с осью координат X

График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
$$e^{x + \frac{1}{x}} = 0$$
Решаем это уравнение
Решения не найдено,
может быть, что график не пересекает ось X

Точки пересечения с осью координат Y

График пересекает ось Y, когда x равняется 0:
подставляем x = 0 в E^(x + 1/x).
$$e^{\frac{1}{0}}$$
Результат:
$$f{\left (0 \right )} = e^{\tilde{\infty}}$$
Точка:

(0, exp(±oo))

Точки перегибов

Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} =$$
Вторая производная
$$\left(\left(1 - \frac{1}{x^{2}}\right)^{2} + \frac{2}{x^{3}}\right) e^{x + \frac{1}{x}} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = - \frac{1}{2} \sqrt{\frac{8}{9 \sqrt[3]{\frac{\sqrt{273}}{36} + \frac{59}{108}}} + \frac{4}{3} + 2 \sqrt[3]{\frac{\sqrt{273}}{36} + \frac{59}{108}}} - \frac{1}{2} \sqrt{- 2 \sqrt[3]{\frac{\sqrt{273}}{36} + \frac{59}{108}} - \frac{8}{9 \sqrt[3]{\frac{\sqrt{273}}{36} + \frac{59}{108}}} + \frac{4}{\sqrt{\frac{8}{9 \sqrt[3]{\frac{\sqrt{273}}{36} + \frac{59}{108}}} + \frac{4}{3} + 2 \sqrt[3]{\frac{\sqrt{273}}{36} + \frac{59}{108}}}} + \frac{8}{3}}$$
$$x_{2} = - \frac{1}{2} \sqrt{\frac{8}{9 \sqrt[3]{\frac{\sqrt{273}}{36} + \frac{59}{108}}} + \frac{4}{3} + 2 \sqrt[3]{\frac{\sqrt{273}}{36} + \frac{59}{108}}} + \frac{1}{2} \sqrt{- 2 \sqrt[3]{\frac{\sqrt{273}}{36} + \frac{59}{108}} - \frac{8}{9 \sqrt[3]{\frac{\sqrt{273}}{36} + \frac{59}{108}}} + \frac{4}{\sqrt{\frac{8}{9 \sqrt[3]{\frac{\sqrt{273}}{36} + \frac{59}{108}}} + \frac{4}{3} + 2 \sqrt[3]{\frac{\sqrt{273}}{36} + \frac{59}{108}}}} + \frac{8}{3}}$$
Также нужно подсчитать пределы y'' для аргументов, стремящихся к точкам неопределённости функции:
Точки, где есть неопределённость:
$$x_{1} = 0$$

$$\lim_{x \to 0^-}\left(\left(\left(1 - \frac{1}{x^{2}}\right)^{2} + \frac{2}{x^{3}}\right) e^{x + \frac{1}{x}}\right) = 0$$
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\left(\left(1 - \frac{1}{x^{2}}\right)^{2} + \frac{2}{x^{3}}\right) e^{x + \frac{1}{x}}\right) = \infty$$
- пределы не равны, зн.
$$x_{1} = 0$$
- является точкой перегиба

Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Вогнутая на промежутках

(-oo, -sqrt(8/(9*(sqrt(273)/36 + 59/108)**(1/3)) + 4/3 + 2*(sqrt(273)/36 + 59/108)**(1/3))/2 - sqrt(-2*(sqrt(273)/36 + 59/108)**(1/3) - 8/(9*(sqrt(273)/36 + 59/108)**(1/3)) + 4/sqrt(8/(9*(sqrt(273)/36 + 59/108)**(1/3)) + 4/3 + 2*(sqrt(273)/36 + 59/108)**(1/3)) + 8/3)/2] U [-sqrt(8/(9*(sqrt(273)/36 + 59/108)**(1/3)) + 4/3 + 2*(sqrt(273)/36 + 59/108)**(1/3))/2 + sqrt(-2*(sqrt(273)/36 + 59/108)**(1/3) - 8/(9*(sqrt(273)/36 + 59/108)**(1/3)) + 4/sqrt(8/(9*(sqrt(273)/36 + 59/108)**(1/3)) + 4/3 + 2*(sqrt(273)/36 + 59/108)**(1/3)) + 8/3)/2, oo)

Выпуклая на промежутках

[-sqrt(8/(9*(sqrt(273)/36 + 59/108)**(1/3)) + 4/3 + 2*(sqrt(273)/36 + 59/108)**(1/3))/2 - sqrt(-2*(sqrt(273)/36 + 59/108)**(1/3) - 8/(9*(sqrt(273)/36 + 59/108)**(1/3)) + 4/sqrt(8/(9*(sqrt(273)/36 + 59/108)**(1/3)) + 4/3 + 2*(sqrt(273)/36 + 59/108)**(1/3)) + 8/3)/2, -sqrt(8/(9*(sqrt(273)/36 + 59/108)**(1/3)) + 4/3 + 2*(sqrt(273)/36 + 59/108)**(1/3))/2 + sqrt(-2*(sqrt(273)/36 + 59/108)**(1/3) - 8/(9*(sqrt(273)/36 + 59/108)**(1/3)) + 4/sqrt(8/(9*(sqrt(273)/36 + 59/108)**(1/3)) + 4/3 + 2*(sqrt(273)/36 + 59/108)**(1/3)) + 8/3)/2]

Вертикальные асимптоты

Есть:
$$x_{1} = 0$$

Горизонтальные асимптоты

Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty} e^{x + \frac{1}{x}} = 0$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты слева:
$$y = 0$$
$$\lim_{x \to \infty} e^{x + \frac{1}{x}} = \infty$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты справа не существует

Наклонные асимптоты

Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции E^(x + 1/x), делённой на x при x->+oo и x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{1}{x} e^{x + \frac{1}{x}}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой справа
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{1}{x} e^{x + \frac{1}{x}}\right) = \infty$$
Возьмём предел
значит,
наклонной асимптоты справа не существует

Чётность и нечётность функции

Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
$$e^{x + \frac{1}{x}} = e^{- x - \frac{1}{x}}$$
- Нет
$$e^{x + \frac{1}{x}} = - e^{- x - \frac{1}{x}}$$
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной