График функции y = e^x*sin(x)

Вы ввели

        x       
f(x) = E *sin(x)

$$f{\left (x \right )} = e^{x} \sin{\left (x \right )}$$

Точки пересечения с осью координат X

График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
$$e^{x} \sin{\left (x \right )} = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:

Аналитическое решение
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = \pi$$
Численное решение
$$x_{1} = -94.2477796077$$
$$x_{2} = -53.407075111$$
$$x_{3} = 3.14159265359$$
$$x_{4} = 15.7079632679$$
$$x_{5} = -3.14159265359$$
$$x_{6} = -59.6902604182$$
$$x_{7} = 28.2743338823$$
$$x_{8} = -25.1327412287$$
$$x_{9} = -43.9822971503$$
$$x_{10} = 25.1327412287$$
$$x_{11} = -81.6814089933$$
$$x_{12} = -34.5575191895$$
$$x_{13} = -31.4159265359$$
$$x_{14} = -91.1061869541$$
$$x_{15} = -75.3982236862$$
$$x_{16} = -69.115038379$$
$$x_{17} = -6.28318530718$$
$$x_{18} = -9.42477796077$$
$$x_{19} = 6.28318530718$$
$$x_{20} = -65.9734457254$$
$$x_{21} = -87.9645943005$$
$$x_{22} = -72.2566310326$$
$$x_{23} = 18.8495559215$$
$$x_{24} = -84.8230016469$$
$$x_{25} = 9.42477796077$$
$$x_{26} = -50.2654824574$$
$$x_{27} = -56.5486677646$$
$$x_{28} = -43.4096318191$$
$$x_{29} = -47.1238898038$$
$$x_{30} = 12.5663706144$$
$$x_{31} = -62.8318530718$$
$$x_{32} = -18.8495559215$$
$$x_{33} = -12.5663706144$$
$$x_{34} = -37.6991118431$$
$$x_{35} = -97.3893722613$$
$$x_{36} = 31.4159265359$$
$$x_{37} = 34.5575191895$$
$$x_{38} = -21.9911485751$$
$$x_{39} = 21.9911485751$$
$$x_{40} = -100.530964915$$
$$x_{41} = -78.5398163397$$
$$x_{42} = 0$$
$$x_{43} = -40.8407044967$$
$$x_{44} = -15.7079632679$$
$$x_{45} = -28.2743338823$$

Точки пересечения с осью координат Y

График пересекает ось Y, когда x равняется 0:
подставляем x = 0 в E^x*sin(x).
$$e^{0} \sin{\left (0 \right )}$$
Результат:
$$f{\left (0 \right )} = 0$$
Точка:

(0, 0)

Экстремумы функции

Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} =$$
Первая производная
$$e^{x} \sin{\left (x \right )} + e^{x} \cos{\left (x \right )} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = - \frac{\pi}{4}$$
$$x_{2} = \frac{3 \pi}{4}$$
Зн. экстремумы в точках:

               -pi   
               ----  
          ___   4    
 -pi   -\/ 2 *e      
(----, -------------)
  4          2       

              3*pi 
              ---- 
         ___   4   
 3*pi  \/ 2 *e     
(----, -----------)
  4         2      

Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумы функции в точках:
$$x_{2} = - \frac{\pi}{4}$$
Максимумы функции в точках:
$$x_{2} = \frac{3 \pi}{4}$$
Убывает на промежутках

[-pi/4, 3*pi/4]

Возрастает на промежутках

(-oo, -pi/4] U [3*pi/4, oo)

Точки перегибов

Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} =$$
Вторая производная
$$2 e^{x} \cos{\left (x \right )} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = \frac{\pi}{2}$$
$$x_{2} = \frac{3 \pi}{2}$$

Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Вогнутая на промежутках

(-oo, pi/2] U [3*pi/2, oo)

Выпуклая на промежутках

[pi/2, 3*pi/2]

Горизонтальные асимптоты

Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(e^{x} \sin{\left (x \right )}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты слева:
$$y = 0$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(e^{x} \sin{\left (x \right )}\right) = \langle -\infty, \infty\rangle$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты справа:
$$y = \langle -\infty, \infty\rangle$$

Наклонные асимптоты

Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции E^x*sin(x), делённой на x при x->+oo и x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{e^{x}}{x} \sin{\left (x \right )}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой справа

True

Возьмём предел
значит,
уравнение наклонной асимптоты справа:
$$y = x \lim_{x \to \infty}\left(\frac{e^{x}}{x} \sin{\left (x \right )}\right)$$

Чётность и нечётность функции

Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
$$e^{x} \sin{\left (x \right )} = - e^{- x} \sin{\left (x \right )}$$
- Нет
$$e^{x} \sin{\left (x \right )} = - -1 e^{- x} \sin{\left (x \right )}$$
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной