График функции y = e^(x^(2/3))

Вы ввели

        / 2/3\
        \x   /
f(x) = E      

$$f{\left (x \right )} = e^{x^{\frac{2}{3}}}$$

Точки пересечения с осью координат X

График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
$$e^{x^{\frac{2}{3}}} = 0$$
Решаем это уравнение
Решения не найдено,
может быть, что график не пересекает ось X

Точки пересечения с осью координат Y

График пересекает ось Y, когда x равняется 0:
подставляем x = 0 в E^(x^(2/3)).
$$e^{0^{\frac{2}{3}}}$$
Результат:
$$f{\left (0 \right )} = 1$$
Точка:

(0, 1)

Экстремумы функции

Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = $$
Первая производная
$$\frac{2 e^{x^{\frac{2}{3}}}}{3 \sqrt[3]{x}} = 0$$
Решаем это уравнение
Решения не найдены,
возможно экстремумов у функции нет

Точки перегибов

Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = $$
Вторая производная
$$\frac{2 e^{x^{\frac{2}{3}}}}{9 x^{\frac{2}{3}}} \left(2 - \frac{1}{x^{\frac{2}{3}}}\right) = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = - \frac{\sqrt{2}}{4}$$
$$x_{2} = \frac{\sqrt{2}}{4}$$

Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Вогнутая на промежутках

[sqrt(2)/4, oo)

Выпуклая на промежутках

(-oo, sqrt(2)/4]

Горизонтальные асимптоты

Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
Предел слева не удалось вычислить
$$\lim_{x \to -\infty} e^{x^{\frac{2}{3}}}$$
$$\lim_{x \to \infty} e^{x^{\frac{2}{3}}} = \infty$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты справа не существует

Наклонные асимптоты

Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции E^(x^(2/3)), делённой на x при x->+oo и x ->-oo
Предел слева не удалось вычислить
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{e^{x^{\frac{2}{3}}}}{x}\right)$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{e^{x^{\frac{2}{3}}}}{x}\right) = \infty$$
Возьмём предел
значит,
наклонной асимптоты справа не существует

Чётность и нечётность функции

Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
$$e^{x^{\frac{2}{3}}} = e^{\left(- x\right)^{\frac{2}{3}}}$$
- Нет
$$e^{x^{\frac{2}{3}}} = - e^{\left(- x\right)^{\frac{2}{3}}}$$
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной