График функции y = erfc(x)

Вы ввели

f(x) = erfc(x)

$$f{\left(x \right)} = \operatorname{erfc}{\left(x \right)}$$

Точки пересечения с осью координат X

График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
$$\operatorname{erfc}{\left(x \right)} = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:

Численное решение
$$x_{1} = 26.6342642727325$$
$$x_{2} = 14.9456114843618$$
$$x_{3} = 7.7060122757948$$
$$x_{4} = 38.51477409315$$
$$x_{5} = 1.24472880679735 \cdot 10^{15}$$
$$x_{6} = 58.4242225191249$$
$$x_{7} = 54.4370237028661$$
$$x_{8} = 64.4079967239423$$
$$x_{9} = 94.3577802742915$$
$$x_{10} = 80.3765543049271$$
$$x_{11} = 44.4790814819168$$
$$x_{12} = 98.2550887951976$$
$$x_{13} = 62.4130592270374$$
$$x_{14} = 70.3945327583911$$
$$x_{15} = 74.386761925484$$
$$x_{16} = 5085948.62854705$$
$$x_{17} = 60.418456402893$$
$$x_{18} = 42.4898628032269$$
$$x_{19} = 50.4518509689816$$
$$x_{20} = 22.7020119251869$$
$$x_{21} = 48.4601805352211$$
$$x_{22} = 82.3734818962454$$
$$x_{23} = 100.254987282992$$
$$x_{24} = 55.664315051758$$
$$x_{25} = 24.6654178426478$$
$$x_{26} = 9.40058218420457$$
$$x_{27} = 16.8634038942371$$
$$x_{28} = 84.3705550226899$$
$$x_{29} = 46.469225371423$$
$$x_{30} = 90.3625511292802$$
$$x_{31} = 13.0525281715331$$
$$x_{32} = 68.398758624181$$
$$x_{33} = 20.7455894143494$$
$$x_{34} = 30.5840773606686$$
$$x_{35} = 40.5017055815082$$
$$x_{36} = 96.3555432849997$$
$$x_{37} = 78.37978337064$$
$$x_{38} = 52.4441552129327$$
$$x_{39} = 34.5454335644866$$
$$x_{40} = 88.3650984160235$$
$$x_{41} = 76.3831813771052$$
$$x_{42} = 66.4032387373004$$
$$x_{43} = 72.3905401156794$$
$$x_{44} = 86.3677635900828$$
$$x_{45} = 18.7983288747016$$
$$x_{46} = 36.529268213228$$
$$x_{47} = 6.19680267259516$$
$$x_{48} = 28.6074290974171$$
$$x_{49} = 92.3601140822187$$
$$x_{50} = 11.1967596923228$$
$$x_{51} = 5.03861416061417$$
$$x_{52} = 56.4303966787895$$
$$x_{53} = 32.5635753297969$$

Точки пересечения с осью координат Y

График пересекает ось Y, когда x равняется 0:
подставляем x = 0 в erfc(x).
$$\operatorname{erfc}{\left(0 \right)}$$
Результат:
$$f{\left(0 \right)} = 1$$
Точка:

(0, 1)

Экстремумы функции

Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
первая производная
$$- \frac{2 e^{- x^{2}}}{\sqrt{\pi}} = 0$$
Решаем это уравнение
Решения не найдены,
возможно экстремумов у функции нет

Точки перегибов

Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
вторая производная
$$\frac{4 x e^{- x^{2}}}{\sqrt{\pi}} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = 0$$

Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Вогнутая на промежутках
$$\left[0, \infty\right)$$
Выпуклая на промежутках
$$\left(-\infty, 0\right]$$

Горизонтальные асимптоты

Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty} \operatorname{erfc}{\left(x \right)} = 2$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты слева:
$$y = 2$$
$$\lim_{x \to \infty} \operatorname{erfc}{\left(x \right)} = 0$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты справа:
$$y = 0$$

Наклонные асимптоты

Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции erfc(x), делённой на x при x->+oo и x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\operatorname{erfc}{\left(x \right)}}{x}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой справа
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\operatorname{erfc}{\left(x \right)}}{x}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой слева

Чётность и нечётность функции

Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
$$\operatorname{erfc}{\left(x \right)} = 2 - \operatorname{erfc}{\left(x \right)}$$
- Нет
$$\operatorname{erfc}{\left(x \right)} = \operatorname{erfc}{\left(x \right)} - 2$$
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной

График