График функции y = factorial(x)

Вы ввели

f(x) = x!

$$f{\left(x \right)} = x!$$

Точки пересечения с осью координат X

График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
$$x! = 0$$
Решаем это уравнение
Решения не найдено,
может быть, что график не пересекает ось X

Точки пересечения с осью координат Y

График пересекает ось Y, когда x равняется 0:
подставляем x = 0 в factorial(x).
$$0!$$
Результат:
$$f{\left(0 \right)} = 1$$
Точка:

(0, 1)

Экстремумы функции

Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
первая производная
$$\Gamma\left(x + 1\right) \operatorname{polygamma}{\left(0,x + 1 \right)} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = 0.461632144968362$$
Зн. экстремумы в точках:

(0.461632144968362, 0.885603194410889)

Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумы функции в точках:
$$x_{1} = 0.461632144968362$$
Максимумов у функции нет
Убывает на промежутках
$$\left[0.461632144968362, \infty\right)$$
Возрастает на промежутках
$$\left(-\infty, 0.461632144968362\right]$$

Точки перегибов

Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
вторая производная
$$\left(\operatorname{polygamma}^{2}{\left(0,x + 1 \right)} + \operatorname{polygamma}{\left(1,x + 1 \right)}\right) \Gamma\left(x + 1\right) = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = -40.2739011032667$$

Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Не имеет изгибов на всей числовой оси

Горизонтальные асимптоты

Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty} x! = \left(-\infty\right)!$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты слева:
$$y = \left(-\infty\right)!$$
$$\lim_{x \to \infty} x! = \infty$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты справа не существует

Наклонные асимптоты

Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции factorial(x), делённой на x при x->+oo и x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x!}{x}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой справа
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x!}{x}\right) = \infty$$
Возьмём предел
значит,
наклонной асимптоты справа не существует

Чётность и нечётность функции

Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
$$x! = \left(- x\right)!$$
- Нет
$$x! = - \left(- x\right)!$$
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной