График функции y = cos(4*x)

Вы ввели

f(x) = cos(4*x)

$$f{\left(x \right)} = \cos{\left(4 x \right)}$$

Точки пересечения с осью координат X

График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
$$\cos{\left(4 x \right)} = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:

Аналитическое решение
$$x_{1} = \frac{\pi}{8}$$
$$x_{2} = \frac{3 \pi}{8}$$
Численное решение
$$x_{1} = -68.7223392972767$$
$$x_{2} = 84.4303025652257$$
$$x_{3} = -79.717913584841$$
$$x_{4} = -86.0010988920206$$
$$x_{5} = 60.0829594999048$$
$$x_{6} = -31.8086256175967$$
$$x_{7} = 122.914812571701$$
$$x_{8} = 78.1471172580461$$
$$x_{9} = 23.9546439836222$$
$$x_{10} = -42.0188017417635$$
$$x_{11} = 104.850654813559$$
$$x_{12} = 38.0918109247762$$
$$x_{13} = 64.009950316892$$
$$x_{14} = -2.74889357189107$$
$$x_{15} = 27.8816348006094$$
$$x_{16} = -75.0055246044563$$
$$x_{17} = -45.9457925587507$$
$$x_{18} = -71.8639319508665$$
$$x_{19} = -82.0741080750334$$
$$x_{20} = -53.7997741927252$$
$$x_{21} = 45.9457925587507$$
$$x_{22} = -1.96349540849362$$
$$x_{23} = -5.89048622548086$$
$$x_{24} = -97.7820713429823$$
$$x_{25} = 56.1559686829176$$
$$x_{26} = -67.9369411338793$$
$$x_{27} = -60.0829594999048$$
$$x_{28} = -9.8174770424681$$
$$x_{29} = -12.1736715326604$$
$$x_{30} = 49.872783375738$$
$$x_{31} = -34.164820107789$$
$$x_{32} = 9.8174770424681$$
$$x_{33} = 4.31968989868597$$
$$x_{34} = -49.872783375738$$
$$x_{35} = 70.2931356240716$$
$$x_{36} = 26.3108384738145$$
$$x_{37} = -75.7909227678538$$
$$x_{38} = 20.0276531666349$$
$$x_{39} = 96.2112750161874$$
$$x_{40} = -83.6449044018282$$
$$x_{41} = -39.6626072515711$$
$$x_{42} = 66.3661448070844$$
$$x_{43} = -100.138265833175$$
$$x_{44} = 48.3019870489431$$
$$x_{45} = 92.2842841992002$$
$$x_{46} = -38.0918109247762$$
$$x_{47} = 42.0188017417635$$
$$x_{48} = -17.6714586764426$$
$$x_{49} = 62.4391539900971$$
$$x_{50} = -93.8550805259951$$
$$x_{51} = 5.89048622548086$$
$$x_{52} = 54.5851723561227$$
$$x_{53} = 88.3572933822129$$
$$x_{54} = -61.6537558266997$$
$$x_{55} = 0.392699081698724$$
$$x_{56} = 40.4480054149686$$
$$x_{57} = -21.5984494934298$$
$$x_{58} = -57.7267650097125$$
$$x_{59} = 82.0741080750334$$
$$x_{60} = -23.9546439836222$$
$$x_{61} = -87.5718952188155$$
$$x_{62} = -64.009950316892$$
$$x_{63} = 93.8550805259951$$
$$x_{64} = 71.8639319508665$$
$$x_{65} = 89.9280897090078$$
$$x_{66} = 22.3838476568273$$
$$x_{67} = 52.2289778659303$$
$$x_{68} = 100.138265833175$$
$$x_{69} = 8.24668071567321$$
$$x_{70} = 31.8086256175967$$
$$x_{71} = 96.9966731795849$$
$$x_{72} = -20.0276531666349$$
$$x_{73} = -35.7356164345839$$
$$x_{74} = -89.9280897090078$$
$$x_{75} = 12.1736715326604$$
$$x_{76} = -20.8130513300324$$
$$x_{77} = -16.1006623496477$$
$$x_{78} = 67.9369411338793$$
$$x_{79} = -27.8816348006094$$
$$x_{80} = -10.6028752058656$$
$$x_{81} = -13.7444678594553$$
$$x_{82} = 86.0010988920206$$
$$x_{83} = -78.1471172580461$$
$$x_{84} = -43.5895980685584$$
$$x_{85} = 44.3749962319558$$
$$x_{86} = 30.2378292908018$$
$$x_{87} = -65.5807466436869$$
$$x_{88} = -96.9966731795849$$
$$x_{89} = -56.1559686829176$$
$$x_{90} = 74.2201264410589$$
$$x_{91} = 53.7997741927252$$
$$x_{92} = 34.164820107789$$
$$x_{93} = 1.96349540849362$$
$$x_{94} = 16.1006623496477$$

Точки пересечения с осью координат Y

График пересекает ось Y, когда x равняется 0:
подставляем x = 0 в cos(4*x).
$$\cos{\left(4 \cdot 0 \right)}$$
Результат:
$$f{\left(0 \right)} = 1$$
Точка:

(0, 1)

Экстремумы функции

Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
первая производная
$$- 4 \sin{\left(4 x \right)} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = \frac{\pi}{4}$$
Зн. экстремумы в точках:

(0, 1)

 pi     
(--, -1)
 4      

Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумы функции в точках:
$$x_{1} = \frac{\pi}{4}$$
Максимумы функции в точках:
$$x_{1} = 0$$
Убывает на промежутках
$$\left(-\infty, 0\right] \cup \left[\frac{\pi}{4}, \infty\right)$$
Возрастает на промежутках
$$\left[0, \frac{\pi}{4}\right]$$

Точки перегибов

Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
вторая производная
$$- 16 \cos{\left(4 x \right)} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = \frac{\pi}{8}$$
$$x_{2} = \frac{3 \pi}{8}$$

Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Вогнутая на промежутках
$$\left[\frac{\pi}{8}, \frac{3 \pi}{8}\right]$$
Выпуклая на промежутках
$$\left(-\infty, \frac{\pi}{8}\right] \cup \left[\frac{3 \pi}{8}, \infty\right)$$

Горизонтальные асимптоты

Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty} \cos{\left(4 x \right)} = \left\langle -1, 1\right\rangle$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты слева:
$$y = \left\langle -1, 1\right\rangle$$
$$\lim_{x \to \infty} \cos{\left(4 x \right)} = \left\langle -1, 1\right\rangle$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты справа:
$$y = \left\langle -1, 1\right\rangle$$

Наклонные асимптоты

Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции cos(4*x), делённой на x при x->+oo и x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\cos{\left(4 x \right)}}{x}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой справа
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\cos{\left(4 x \right)}}{x}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой слева

Чётность и нечётность функции

Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
$$\cos{\left(4 x \right)} = \cos{\left(4 x \right)}$$
- Да
$$\cos{\left(4 x \right)} = - \cos{\left(4 x \right)}$$
- Нет
значит, функция
является
чётной

График