График функции y = cos(pi/(2-x))

Вы ввели

          /  pi \
f(x) = cos|-----|
          \2 - x/

$$f{\left(x \right)} = \cos{\left(\frac{\pi}{2 - x} \right)}$$

Область определения функции

Точки, в которых функция точно неопределена:
$$x_{1} = 2$$

Точки пересечения с осью координат X

График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
$$\cos{\left(\frac{\pi}{2 - x} \right)} = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:

Аналитическое решение
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = \frac{4}{3}$$
Численное решение
$$x_{1} = 2.66666666666667$$
$$x_{2} = 4$$

Точки пересечения с осью координат Y

График пересекает ось Y, когда x равняется 0:
подставляем x = 0 в cos(pi/(2 - x)).
$$\cos{\left(\frac{\pi}{2 - 0} \right)}$$
Результат:
$$f{\left(0 \right)} = 0$$
Точка:

(0, 0)

Экстремумы функции

Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
первая производная
$$- \frac{\pi \sin{\left(\frac{\pi}{2 - x} \right)}}{\left(2 - x\right)^{2}} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = 1$$
Зн. экстремумы в точках:

(1, -1)

Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумы функции в точках:
$$x_{1} = 1$$
Максимумов у функции нет
Убывает на промежутках
$$\left[1, \infty\right)$$
Возрастает на промежутках
$$\left(-\infty, 1\right]$$

Точки перегибов

Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
вторая производная
$$- \frac{\pi \left(2 \sin{\left(\frac{\pi}{x - 2} \right)} + \frac{\pi \cos{\left(\frac{\pi}{x - 2} \right)}}{x - 2}\right)}{\left(x - 2\right)^{3}} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = 3074.8755443295$$
$$x_{2} = 10705.1873490195$$
$$x_{3} = -10449.3685950099$$
$$x_{4} = -4780.5899063193$$
$$x_{5} = -4562.61203031467$$
$$x_{6} = 6562.39745368646$$
$$x_{7} = -11103.5273001593$$
$$x_{8} = -9577.16804001135$$
$$x_{9} = -2819.3058066811$$
$$x_{10} = 8306.66376767566$$
$$x_{11} = -6960.68730875067$$
$$x_{12} = 4600.36644728847$$
$$x_{13} = -3908.74040550788$$
$$x_{14} = 7870.58489225002$$
$$x_{15} = 2421.48327847189$$
$$x_{16} = -10231.3171711293$$
$$x_{17} = -3037.13980770151$$
$$x_{18} = -4998.57585593862$$
$$x_{19} = -9141.07351655573$$
$$x_{20} = -8268.89901480149$$
$$x_{21} = 9178.839092469$$
$$x_{22} = -7614.78414851866$$
$$x_{23} = -4344.64344739395$$
$$x_{24} = -8704.98359840237$$
$$x_{25} = 8960.79333213496$$
$$x_{26} = 2857.0361522398$$
$$x_{27} = 3728.55656556972$$
$$x_{28} = -8050.85899460141$$
$$x_{29} = 4818.34564707535$$
$$x_{30} = 7652.54809009149$$
$$x_{31} = -8923.02793958268$$
$$x_{32} = 2639.23522503622$$
$$x_{33} = 5254.32677234155$$
$$x_{34} = -9795.2168363785$$
$$x_{35} = -2601.51168596997$$
$$x_{36} = 9832.9828908882$$
$$x_{37} = 6998.45020000492$$
$$x_{38} = -4126.68563587176$$
$$x_{39} = -5434.56807965388$$
$$x_{40} = -6306.61411253876$$
$$x_{41} = -10885.4737039524$$
$$x_{42} = 3510.64084297269$$
$$x_{43} = -3255.0056190349$$
$$x_{44} = -6088.5962870989$$
$$x_{45} = 8088.62349887863$$
$$x_{46} = 7434.51325143022$$
$$x_{47} = 10051.0327602721$$
$$x_{48} = 8742.74879365927$$
$$x_{49} = 10487.1350411652$$
$$x_{50} = 5036.3327511695$$
$$x_{51} = 9396.8859895067$$
$$x_{52} = 5908.34265924616$$
$$x_{53} = -7832.8206575933$$
$$x_{54} = -5870.5823597212$$
$$x_{55} = -8486.9405883437$$
$$x_{56} = 4164.43674859374$$
$$x_{57} = 6780.42241419512$$
$$x_{58} = -9359.12024288468$$
$$x_{59} = -7396.74962920908$$
$$x_{60} = 5690.33237619656$$
$$x_{61} = -3690.80999602316$$
$$x_{62} = 2203.79505915415$$
$$x_{63} = 9614.9339458279$$
$$x_{64} = -7178.71728118609$$
$$x_{65} = 5472.32688127597$$
$$x_{66} = -5652.57278235293$$
$$x_{67} = 4382.39633644888$$
$$x_{68} = -5216.56886424101$$
$$x_{69} = -2383.7685054801$$
$$x_{70} = 3946.48943650256$$
$$x_{71} = 6126.35721793024$$
$$x_{72} = 6344.37561040122$$
$$x_{73} = 10269.0834950414$$
$$x_{74} = -6742.65994267352$$
$$x_{75} = -10667.4207880326$$
$$x_{76} = 3292.74569867703$$
$$x_{77} = 7216.48055455131$$
$$x_{78} = -6524.63544462699$$
$$x_{79} = -10013.2665666667$$
$$x_{80} = 8524.70557092197$$
$$x_{81} = -3472.89721302176$$
Также нужно подсчитать пределы y'' для аргументов, стремящихся к точкам неопределённости функции:
Точки, где есть неопределённость:
$$x_{1} = 2$$

True

True

- пределы не равны, зн.
$$x_{1} = 2$$
- является точкой перегиба

Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Не имеет изгибов на всей числовой оси

Вертикальные асимптоты

Есть:
$$x_{1} = 2$$

Горизонтальные асимптоты

Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty} \cos{\left(\frac{\pi}{2 - x} \right)} = 1$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты слева:
$$y = 1$$
$$\lim_{x \to \infty} \cos{\left(\frac{\pi}{2 - x} \right)} = 1$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты справа:
$$y = 1$$

Наклонные асимптоты

Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции cos(pi/(2 - x)), делённой на x при x->+oo и x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\cos{\left(\frac{\pi}{2 - x} \right)}}{x}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой справа
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\cos{\left(\frac{\pi}{2 - x} \right)}}{x}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой слева

Чётность и нечётность функции

Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
$$\cos{\left(\frac{\pi}{2 - x} \right)} = \cos{\left(\frac{\pi}{x + 2} \right)}$$
- Нет
$$\cos{\left(\frac{\pi}{2 - x} \right)} = - \cos{\left(\frac{\pi}{x + 2} \right)}$$
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной

График